円弧の重なり合う面積について教えてください。

質問

一辺が10cmの正方形があります。
分かりやすくするために左上の頂点から時計回りにABCDと振ります。
Bを中心にAからCまで円弧を描きます。（1/4の円・・・(1)）
さらに、辺CDの中点を中心にCからDまで円弧を描きます。（1/2の円・・・(2)）
(1)と(2)の重なり合う面積を求めたいと思います。

これを中学校入試レベル程度の解き方で解くことは可能でしょうか。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

他の回答者も言われている通り、中学レベルの数学では無理ですね。

求める共通領域の面積Sは積分を使って求めます。
S＝(25π/2)-50+(75/2)arcsin(4/5)
≒24.04348
となります。
正方形の面積100の(1/4)の25より少し少ない面積ですね。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございました。
当方でもその後計算してみました。

θ=　ATAN(0.5)*180/PI() = 26.56505118 (deg)
S=　100*PI()*(2*θ/360)+25*PI()*((180-2*θ)/360)-50
= 24.04347884 (cm^2)

※　θとは、Bを中心に1/4円を描き、2つの円弧の交点間の扇の角度の半分

過去、中学入試の参考書に出ていた問題と記憶していたので、果たしてどうやって解くのかずっと疑問に思っておりました。大学生の頃、小学生の塾でこの問題を出したところ、誰も解けず大騒ぎになった記憶があります、、

ありがとうございました。

回答No.4

ONEONE

ちなみに私は扇形から三角形を引くことで求めました。
弧のC以外の交点E、CとDの交点をFとすると求める面積は
扇形BCE-三角形BCE+扇形FCE-三角形FCE
です。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございました。

私は、
扇BCE+扇FCE-三角形BEF-三角形BCF
で求めました。（結果的にはご提案いただいていることと同じですね。）

※辺CDの中点をF、２つの扇の交点をC及びEとする。

回答No.2

millionx

計算間違ってなければ
(25/2)(6θ + π - 5sin2θ)
ただしθ = arctan2
になると思うので中学レベルだと無理でしょう。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございました。
やはり中学受験レベル（小学生）には難しいのですね。

回答No.1

nag0720

角度を計算するため逆三角関数を使う必要があり、中学校入試レベルでは無理

お礼

さっそくのご回答ありがとうございました。
やはり中学受験レベル（小学生）には難しいのですね。