正四角錐の切断面

質問

1組の辺が平行であることがわからないので、質問します。
添付した図の立体O-ABCDはすべての辺の長さが2cmの正四角錐で、P、Q、RはそれぞれAB、OC、ADの中点である。この正四角錐をP、Q、Rを通る平面で切ったとき、この平面と辺OB、ODとの交点をそれぞれS、Tとする。
(1)線分ACとPRとの交点をMとするとき、線分MQの長さを求めよ。
(2)線分STの長さを求めよ。
(1)は三角形OACが直角2等辺三角形であることを利用して、O、Qから線分ACにそれぞれ垂線OH、QIを引いて、答えが√10/2と求めています。
(2)での解説で、STとBDが平行であるとして説明されているのですが、そこがわかりません。三角形PSBと三角形RTDの合同。同位角または錯角が等しい。直線STと直線RPがまじわるとすると矛盾。など試してみましたが、どれもうまくいきませんでした。どなたかSTとBDが平行であることを証明してください。お願いします。
ちなみに(2)の答えは、(3√2)/2です。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

・三角形OBDを含む平面をαとする。
・BDとPRは平行である（三角形ABDと三角形APRの相似より）。よって、直線PRを含みαと平行な平面βをつくることができる。
・3点PQRを含む平面（断面）をγとする。αとβが平行なので、「αとγの交線」と「βとγの交線」は平行である。よってSTとPRは平行である。
・以上よりSTとBDも平行である。

もう少し簡潔にできるかもしれませんが、これでいかがでしょうか。

お礼

立体幾何の知識を使った説明、ありがとうございます。

回答No.6

staratras

No.５です。
>直線OBの式の求め方で
ax+by+cz+d=0に、OとBの座標を代入してもとめる方法があったら教えてください。

下の図のように３点O,B,Dが作る平面で切った断面（ｙ-ｚ平面）で考えれば明らかです。

お礼

座標と図で解説してもらい、わかりやすかったです。ありがとうございます。

回答No.5

staratras

下の図のように座標軸を定めて考えるのも一つの解き方でしょう。
以下は「あらすじ」です。なお座標を使えば、STとBDが平行であることは明らかです。
(1)
A(√2,0,0)、B(0,√2,0)、C(-√2,0,0)、D(0,-√2,0)、O(0,0,√2）
P(√2/2,√2/2,0)、Q(-√2/2,0,√2/2)、R(√2/2,-√2/2,0)
M(√2/2,0,0)　∴MQ^2=(√2)^2+(√2/2)^2=5/2 MQ=√(5/2)=√10/2
(2)
PQRが作る平面の式　x+2z-√2/2=0
辺OB・ODの直線の式　y=±(√2-z)
連立させて解くと　y=±(3√2)/4
∴S(0,3√2/4,√2/4) T(0,-3√2/4,√2/4)
∴ST=3√2/2

お礼

座標を使う方法の解説ありがとうございます。

補足

よければお返事ください。直線OBの式の求め方で
ax+by+cz+d=0に、OとBの座標を代入してもとめる方法があったら教えてください。ベクトルの成分表示を用いる方法でしか求められませんでした。お願いします。

回答No.4

gamma1854

１つの方法として、ベクトルを使い解決してみます。
以下、 ベクトルaを、vec(a) と記すことにします。
---------------------
まず、vec(OA)=vec(a), vec(OB)=vec(b), vec(OC)=vec(c) とし、空間内のべクトルをすべてこの３つの１次結合にて表示します。
2) vec(PT) および vec(PS)を、
α*vec(PQ) + β*vec(PR)
とするとこれは、(1/2)*{(β-α)*vec(a) - (α+2β)*vec(b) + (α+β)*vec(c)}.
であり、k, l を実数として、
vec(PS) = k*vec(b) - (vec(a) + vec(b))/2, vec(PT) = l*(vec(a) - vec(b) + vec(c)) - (vec(a) + vec(b))/2.
とも表現できることから、k = l = 3/4 を得ます。
以上から、vec(MQ) = (1/4)*(vec(c) - 3*vec(a)).
|vec(MQ)|^2 = (1/16)*(4 + 9*4 - 6*0) = 5/2.
となります。

お礼

お返事を参考にして、STの長さをベクトルで求めることができました。ありがとうございます。

回答No.2

neKo_quatre

> (2)での解説で、STとBDが平行であるとして説明されているのですが、そこがわかりません。

真上から図形を見たとして、点の取り方、ぶった切り方は、ACを中心にした線対称の操作になります。
従って、BSとDTは等しい。
って事は、SとTの高さも等しい。
なので、並行だとか。

お礼

簡潔な説明ありがとうございます。

回答No.1

hahaha8635

’1)線分ACとPRとの交点をMとするとき、線分MQの長さを求めよ。
は四角形ABCD平面なので簡単に解けます

(2)線分STの長さを求めよ。
平面PRQ上の線なので
BC矢視　を考え　Sの高さを出します　Z値
AB矢視を考え　XY　を算出

Tも同様に
求め
平面PRQ変換する

お礼

矢視という言葉を初めてしりました。お返事ありがとうございます。