正四角錐の２面角

質問

２直線が垂直になるのがわからないので質問します。
問題は、
1辺の長さ2aの正方形ABCDを底面とし、Oを頂点とする正四角錐において、底面と斜面のなす角が45°のとき、次の２面角を求めよ。
(1)向かい合う2つの斜面の２面角α。　(2)となりあう２つの斜面の2面角β。

(1)は三角形OLNの辺の長さの比から90°とわかりました。
(2)の解説では、LからOBに下した垂線の足をPとすると、MP⊥OBでもあるのでと書き始めているのですが、自分は△BMPは△BLPに合同な三角形であるからかと考えましたが、三角形の合同条件が満たされませんでした。( BL=BM,BPは共通、しかし∠LBPと∠MBPが等しいが言えなかった。 )
どなたか、LからOBに下した垂線の足をPとすると、MP⊥OBでもあるを証明してくださいお願いします。

回答No.7

178-tall

>(2)の解説では、LからOBに下した垂線の足をPとすると、MP⊥OBでもあるのでと書き始めているのですが、自分は△BMPは△BLPに合同な三角形であるからかと考えましたが、三角形の合同条件が満たされませんでした。( BL=BM,BPは共通、しかし∠LBPと∠MBPが等しいが言えなかった。 )
　　　　↑
ここへ戻ります。

　(1) ⊿OAB と⊿OBC は、どちらも底辺長が 2a、O を共有する両側辺長が √3a なる二等辺三角形。
　　つまり、両者は合同。
　　だとすれば、△BMP と△BLP も合同。(∵ BL=BM, BPは共通、∠LBP = ∠MBP )

回答No.6

178-tall

勘定の錯誤を訂正。

添付図での「局所的」勘定は、
、
　(1) ⊿OAB は、|AB| = 2a, |OA| = |OB| = √3a なる二等辺三角形。
　　底辺 AB から頂点 O までの高さ = √2a
　　⊿OAB の面積 = √2a^2

　(2) ⊿OAB の底辺の中点 L から辺 OB へ立てた垂線 LP の長さは？
　　|LP| = ⊿OAB 面積/{ √3a } = a*√(2/3)

　(3)二等辺三角形 ⊿LMP にて、∠LPM/2 のsin 値を勘定。
　　sin(∠LPM/2) = (a/√2)/a*√(2/3) = √(3)/2
　　∠LPM/2 = 60 deg

つまり ∠LPM は 120 deg … らしい。

回答No.5

178-tall

ANo.3～4 は、線分長 |LP|, |MP|, |LM| の勘定に終始する答案。

「四隅のどこでも同じ勘定になるだろう」と多寡をくくったまま、「局所的な対称条件」は利用。

蒙御免。

回答No.4

178-tall

錯誤部分の訂正。

　(2) ⊿OAB の底辺中点 L から辺 OB へ立てた垂線 LP の長さは？
　　　LP = ⊿OAB 面積/a = √2a = MP = LM 。

回答No.3

178-tall

>(2)となりあう２つの斜面の2面角β …

添付図での「局所的」勘定は、
、
　(1) ⊿OAB は、|AB| = 2a, |OA| = |OB| = √3a なる二等辺三角形。
　　　底辺 AB から頂点 O までの高さ = √2a 。
　　　⊿OAB の面積 = √2a^2 。

　(2) ⊿OAB の底辺中点 L から辺 OB へ立てた垂線 LP の長さは？
　　　LP = ⊿OAB 面積/a = √2a = MP = MN 。

で落着。

つまり ⊿LMP は正三角形 … らしい。

回答No.2

178-tall

>… LからOBに下した垂線の足をPとすると、MP⊥OBでもあるを証明してください

点 O, B, D を含む平面に対する「大域的な対称条件」を利用しないとケリがつかないかもしれませんネ。

お礼

ヒントありがとうございます。

回答No.1

f272

OA=OB=OCでAB=BCなのだから△OABと△OBCは合同で，どちらも２等辺三角形です。だから∠LBPと∠MBPは等しい

お礼

正四角錐の定義をしっかり覚えたいとおもいます。お返事ありがとうございます。