円と外接多角形の周の長さ

質問

円周＜外接多角形の周の長さ　の証明をやろうと思ったんですが、できません。

円周率を使わずに証明できますか？

回答No.11

yaksa

うーん。私は、（とくに数学については）あまり議論することは好きではないのですが。議論しても無意味だと思いますし。（結局、証明したかしないかっていうだけの問題なので。）

＞「曲線の長さは折れ線の長さの上限で定義されています」
「上限(sup)」と言う語の定義はよろしいでしょうか。
最大値と上限は違います。円の場合には、円周の長さ（上限値）を実際に実現する折れ線は存在しません。
したがって、折れ線(内接多角形)と外接多角形の比較をいくらしても、円周と外接多角形の比較をしたことにはなりません。別の言葉で言えば、明らかに「内接多角形の周＜円周」なので、「内接多角形の周＜外接多角形の周」を証明したからといって、「円周＜外接多角形の周」とは限りません。

イメージとしては、
全ての自然数nについて 1/n>0 だからといって、
lim_{n→∞}(1/n) > 0
が成り立たないことと同じです。

＞曲線と直線の長さが比較できないなんていうのは
比較はもちろんできますが、比較するときには、
「1/n>0だからlim_{n→∞}(1/n) > 0」のような論理にならないように注意深くしないといけません。

それから、ユークリッド幾何から出発する立場に立てば、三角関数の微分・積分は、そもそも、
「内接多角形＜円周＜外接多角形」
という事実を使って定義されているはずなので、三角関数の微積を使ってこれを証明するのは、循環論法になっていると思われます。