円と外接多角形の周の長さ

質問

円周＜外接多角形の周の長さ　の証明をやろうと思ったんですが、できません。

円周率を使わずに証明できますか？

回答No.18

BLUEPIXY

今ｘ軸上に半円を描いたとしよう。
（半円でなく楕円でも放物線でもいいが）
その半円に外接する多角形があるとしよう。
半円を外接する多角形にちょっとでも近づけるために
ちょびっと上に引っ張ったとしよう。
ちょびっと引っ張った部分はある２点から山になるが同時に谷も作るので
谷の上の部分をつなぐ（凸になる）ように変形しよう
（そうした変形は全長を短くすることに注意）
近傍の谷をつないだことでさらに谷ができることに注意してさらに谷をつないでいくと、結局の処元の円より少し上に大きい凸な図形（予想としては楕円？）になることがわかるだろう。
ここで、元の図形と今できた新しい図形の全長を測りたいが
直線で曲線は近似はできても表せない（？）のでそういう直線で近似するというのはとりあえず置いておく。
そこで、
どっちの長さが長いのか比べるための目安を考えることにする。
今ｘ軸から曲線の上点までの距離を比べることにする。
（軸から５ｃｍ離れるより７ｃｍ離れる方がより遠回りすることになるからこうした距離を比べることで全長がどちらが長いか比べることができる。）
ところが、
元の図形も新しい図形も凸であるからより上にある図形へのｘ軸からの距離はいつも大きいのがわかるだろう。
つまり、２つの凸な図形（曲線であっても）より外側の凸の図形のほうが距離が長いことが分かる。
これを別な言い方をすると、上に引っ張ることでできる微小な面積を微分するとその元の図形の全長になるということだ。
これは、言い換えればより大きな面積を有する凸な図形はより長い全長を持つということになる。
こうした話は、積分と微分がわかるなら自明と言えると思う。