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円と外接多角形の周の長さ
yaksaの回答
- yaksa
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#1さんの参考ページ見てみました。 とりあえずユークリッド幾何では、「中心と半径を与えると円が一つ定まる」てのは公理なんで、sinとかをつかって円を定義するのは邪道だと思います。(少なくともユークリッド幾何ではない。) 「与えられた2点を結ぶ一番短い曲線は直線」てのも公理なんで、それについては問題ないですが。 で、ユークリッド幾何を使った#12の証明なんですが、 確かに、「円周≦外接多角形の周の長さ」の証明はできてると思うんですが、 「円周<外接多角形の周の長さ」を証明しようとするとさらに一仕事必要な気がします。 (この証明を拡張して≦ではなくて<にできないかといろいろ考えたんですが無理そう。) これを言うには、 「任意に与えられた外接多角形に対して、周の長さがより短い(別の)外接多角形が存在する」 ことを言えば十分だと思うんですが、これを言うには、 「円の接線と直径のなす角が直角」てのが必要なような。もっとゆるくして、 「円周上に1点を決めると、その点を接点とする円の接線がただ1本定まる。」 でもよさそうかな。これってどうやって証明するんでしょうか。。
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