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漸化式
adinatの回答
- adinat
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もうひとつ一般的な解法があるので概略だけですが書いておきます。 C_{n+1}=αC_n+f(n) というタイプの漸化式で、f(n)がk次の多項式の場合、第k階差までとってみると簡単な漸化式が現れます。からくりはn次多項式の階差がn-1次になることを利用しています。この問題だとたとえば、 C_{n+2}=-C_{n+1}+(n+1)^2+3 C_{n+1}=-C_n+n^2+3 という式の片々を引き算して（上の式はもとの漸化式でn→n+1としたものです） C_{n+2}-C_{n+1]=-(C_{n+1}-C_n)+2n+1 となります。ここでD_n=C_{n+1}-C_nとおくと、 D_{n+1}=-D_n+2n+1 という新しい漸化式を得ます。再び、 D_{n+2}=-D_{n+1}+2(n+1)+1 D_{n+1}=-D_n+2n+1 の片々を引き算して D_{n+2}-D_{n+1]=-(D_{n+1}-D_n)+2 となるので、E_n=D_{n+1}-D_nとおけば E_{n+1}=-E_n+2 です。これは簡単な漸化式で、両辺から1を引けば E_{n+1}-1=-(E_n-1) となるからE_n=(-1)^{n-1}(E_1-1)と解くことができます。 さてC_1=2だったから、C_2=-2+1+3=2、C_3=-2+4+3=5ですので、 D_1=C_2-C_1=0、D_2=C_3-C_2=3です。 よってE_1=D_2-D_1=3となるので、E_n=(-1)^{n-1}×2です。 D_n=E_{n-1}+E_{n-2}+…+E_1+D_1 なのでこれは等比数列の和の公式から計算できます。同じようにして C_n=D_{n-1}+D_{n-2}+…D_1+C_1 からC_nの一般項が計算できます。 この階差数列を取る方法はなかなか汎用的なんですが、何度も階差をとるとあとで足しなおさないといけないので計算が面倒になります。実用的には二回ぐらいが限界なのかなあとも思いますが、解法が思い浮かばないときには何も考えずに出来る方法だし、しっておいて損はないかとも思います。
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