特異点について

質問

過去の質問をいくつか読んだのですが微分方程式の特異点の出し方がいまいち釈然としません。

xy''+2(ν+1-x/μ)y'+2(1-(ν+1)/μ)y=0 (μ,νは複素定数)

という方程式の特異点が、確定特異点x=0、非確定特異点x=∞の二つだと言われたのですが、何をどうもってきたらそういう事がわかるんでしょうか？考える手順みたいなものを教えていただければありがたいのですが、、

回答No.2

qntmphscs · ベストアンサー

xy''+(a-x)y'+by=0の特異点を調べるには・・・

まず基本の形、y''+p(x)y'+q(x)y=0の形に直します。

p(x)=(a-x)/x
q(x)=b/x

x=0はp(x)の1位の極、q(x)の1位の極なので確定特異点です。

次に、x=∞の様子を調べるためにx=1/tに変換して、t=0を調べます。

y'=(dt/dx)(dy/dt)=-t^2(dy/dt)
y''=-t^2(d/dt){-t^2(dy/dt)}=t^4(d^2y/dt^2)+2t^3(dy/dt)

に注意して基本の形にすると

p={1-(a-2)t}/t^2
q=b/t^3

よってx=∞(t=0)はpの2位の極、qの3位の極なので確定特異点です。

x=aにおいて、p、qが両方とも極を持たなければx=aは通常点。
両方とも極を持てば確定特異点。
一方が極を持ち、他方が極を持たなければ不確定特異点です。

例えばx^3(x+1)y''+2x^3y'+y=0はx=-1が確定特異点、x=0が不確定特異点であり、x=∞は通常点です。興味があれば調べてみて下さい。

お礼

無茶苦茶丁寧に解説してくださって恐縮です。非常によくわかりました、納得しました。有り難うございます。

回答No.3

qntmphscs

xy''+(a-x)y'+by=0の特異点の正しい判別方法です。

まず基本の形、y''+p(x)y'+q(x)y=0の形に直します。

p(x)=(a-x)/x
q(x)=b/x

x=0はp(x)の1位の極、q(x)の1位の極なので確定特異点です。

次に、x=∞の様子を調べるためにx=1/tに変換して基本の形にすると

p={1-(a-2)t}/t^2
q=b/t^3

x=∞(t=0)はpの2位の極、qの3位の極なので不確定特異点です。

x=aにおいて、p、qが両方とも極を持たなければx=aは通常点。
pが１位の極、またはqが１位または２位の極を持てば確定特異点。
pが２位以上の極、またはqが３位以上の極を持てば不確定特異点です。

回答No.1

noname#108554

定義に沿って考えればできますが、
とりあえず手元の本でよさそうなのは、
岩波の理工系の数学入門コース4「常微分方程式」矢嶋信男著
あたりです。

わかりにくいのは、非確定特異点x=∞のほうかもしれません。
こちらは、z=1/xと変換、z=0が非確定特異点であることを示せばよいのです。

お礼

ありがとうございます！
とりあえずその本をかってしばらく勉強してみます。