停留点の求め方教えてください

質問

実数βで次の関数の停留点を求めたいです。
f(x,y)=x^2+y^2+βxy+x+y
これの停留点と大域的最小点を求めたいですが、
Fをxで微分とyで微分したものを求めて、βで場合分けするのはわかるのですが、
やり方がわかりません。教えてください。

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

f(x,y)=x^2 + y^2 + βxy + x + y

(1)
fをxで偏微分して0とおく。 2x+βy+1=0
fをxで偏微分して0とおく。 2y+βx+1=0
これらを連立方程式として解くと，
x=y=-1/(2+β)
となる。
この点は，極大，極小，峠点のいずれかです。(β≠2のとき)

(2)
x=Δx - 1/(2+β)，
y=Δy - 1/(2+β)，
とおき，f(x,y)に代入してβ，Δx，Δyの式に書き換える。
f=(Δx + β*Δy/2)^2 + (Δy)^2*(1-β^2/4) + (βで決まる定数)

よって，|β|<2のときは極小点，
|β|>2のときは，峠点になる。

ざっくりした計算なので，詳細は吟味して下さい。
例えば，β=2やβ=-2のときは，
変則的になるので，別途吟味して下さい。

お礼

ありがとうございました。
少し問題が違っていたので改めて質問させていただきます。
申し訳ございません。