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ラグランジュの方法

ラグランジュの方法 以下の問題について相談です。 x^2+xy+y^2=1の条件下でのxy/1+x^2+y^2の最大値、最小値およびそれらを与える(x,y)をすべて求めよ。 ラグランジュの方法を用いました。 ψ(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0とおき、xとyについて偏微分して、ψx(x,y)=ψy(x,y)=ψ(x,y)=0を満たす点は存在しないことを確認しました。 次にF(x,y,λ)=xy/1+x^2+y^2-λ(x^2+xy+y^2-1)とおき、xとyとλについて偏微分して、連立方程式を解いて答えを出そうとしています。 私の解答では(1.1)のとき最大値2、(1.-1)で最小値-2になったのですが、大変自信がありません。 まず、やり方はあっているのでしょうか? どなたか途中式も交えて答えをご回答下さると大変嬉しいです。 お願い致します。

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Fx=(y+y^3-x^2y)/(1+x^2+y^2)^2-λ(2x+y)=0 (1) Fy=(x+x^3-y^2x)/(1+x^2+y^2)^2-λ(x+2y)=0 (2) Fλ=-x^2+xy+y^2-1=0           (3) (3)を用いながら(1),(2)からλを消去して x~2=y^2 (4) をえる。 1)x=yのときx=y=±1/√3 このとき xy/(1+x^2+y^2)=1/5 (最大値) 2)x=-yのときx=1,y=-1またはx=-1,y=1 この時 xy/(1+x^2+y^2)=-1/3(最小値)

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質問者からのお礼

違ったみたいですね(^^;) どうもありがとうございます! お陰様でとても助かりました!

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  • 回答No.1

やり方としては正しいとおもいます。 x^2+xy+y^2=1はだ円で、x、yは有限ですので大抵のx、yの関数f(x,y)は最大値、最小値を持つでしょう。 >xとyとλについて偏微分して、連立方程式 これを示してください。

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質問者からのお礼

ありがとうございました!

質問者からの補足

質問者です。 Fについての偏微分は、以下のようになりました。 Fx=(-x^2+y^3+y/(1+x^2+y^2)^2)-2λx-λy Fy=(-xy^2+x^3+x/(1+x^2+y^2)^2)-λx-2λy Fλ=-(x^2+xy+y^2-1) をそれぞれ=0として解いたところ、質問文のような答えになりました。

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