高校数学です

質問

画像の不等式を解けという問題です。赤文字が答えなのですが、なぜ-1<x≦0、になるのか分かりません。(青線部分は本来二乗しますが、計算を簡単にしたくて、さきに二乗する式のうち1つをかけて、そのあと3x^2にもう1つかけました。分かりにくかったらすみません)

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

与不等式の両辺に(x - 2)^2・(x + 1)^2 > 0をかける
（不等号の向き不変）
4(x - 2)(x + 1)^2 + 3(x - 2)^2・(x + 1)^2 ≦ (x - 2)^2・(x + 1)
これをがんばって展開すると
3x^4 - 3x^3 - 6x^2 ≦ 0
x^4 - x^3 - 2x^2 ≦ 0
x^2(x^2 - x - 2) ≦ 0
x^2(x - 2)(x + 1) ≦ 0
4次関数のグラフの書き方はもしかしたらまだ教わってないかもしれませんが、
概形を書くと添付のようになります。x = 0でx軸と接しています。
与不等式の不等号が≦ですから、求める範囲はグラフのうちx軸より下、
x = -1とx = 2は与不等式の分母を0にするから不適であることを考えると、
確かに赤い字のとおり
-1 < x ≦ 0, 0 ≦ x < 2
と書けます（決して間違いではない）が、
x = 0のところで分ける必要性を感じません。
-1 < x < 2
とすべきです。

お礼

確かに-1<x<2とした方が簡潔ですね！いつも丁寧な解説ありがとうございます🙇‍♂️

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回答No.2

gamma1854

分母の平方をかけてもいいのですが、通分してみます。
(与式) ⇔
(3x-2)/(x-2) - 1/(x+1) ≦ 0 ⇔
3x^2/{(x-2)(x+1)} ≦ 0 ⇔
(x-2)(x+1) < 0, (x=0 は可)
ゆえに、-1<x<2.

回答No.1

asuncion

赤い字が模範解答ですか？
だとすると、x = 0のところで連続なので、
-1 < x < 2
が正しいと思います。