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高校数学B・ベクトルについて

数学Bのベクトルの問題を解いています。 問題集の中の1問なのですが、詳解書では問題の途中式が殆ど省かれているため、ほぼ答えしか分らない状態です。 どうか途中式を教えて頂きたいです。 問題の下に書いているのは、詳解書に書かれていた途中式です。 [問]平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をPとすると、APLBC、ACLDPである。次の問に答えよ。 (1)AB:ADを求めよ。 ベクトルAB=ベクトルd,ベクトルAD=ベクトルdとする。 (以下、ベクトルは[べ]と表記します) APLBCより、2[ベ]b+[ベ]d÷2×[ベ]d=0 …(1) ACLDPより、([ベ]b+[ベ]d)×2[ベ]b-[ベ]d÷2=0 …(2) (1),(2)より、4[絶対値][ベ]b[絶]の2乗=3[絶][ベ]d[絶]の2乗 答え)√3:2 (2)cos∠BADの値を求めよ。 (1)より、[絶][ベ]b[絶]=√3÷2[絶][ベ]d[絶] 答え)-1÷√3 (1)は、「(1)・(2)より」から先の等式にするまでの計算式が分りません。 (1)・(2)の左辺を=でつないで計算してみましたが、何度やってもうまくいきません。 計算の中でどうしても[ベ]b×[ベ]dが残ってしまいます。 (2)は、途中式を出すところまでは計算できたましたが、そこからどうすれば答えが導けるのかが分りません。 どなたか教えて下さい。お願いします。

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記号が混乱するので[ベ]bを単にb,[ベ]dをd, 内積を記号・としましょう.掛算は×を使いましょう [ ]は大きいカッコです 少し記号を整理して AP⊥BCより、((2b+d)/2)・d=0 …(1) AC⊥DPより、(b+d)・[(2b-d)/2]=0 …(2) となります。そのままです。 (1)から内積を計算してもう少し簡単にします。 2(b・d)+(d・d)=0 よって(b・d)=-(d・d)×(1/2)・・・・(3)これがポイントです。 (2)も内積を計算して (b+d)・(2b-d)=0 2(b・b)+(b・d)-(d・d)=0 ここへ(3)を代入して(b・d)を消去します。 2(b・b)=(3/2)×(d・d) 4(b・b)=3(d・d) 2|b|=√3×|d| |b|:|d|=√3:2 さて、後半は内積b・d=|b||d|cos∠BADに先ほどの結果と(3)を使います。 まず、(3)を代入して b・d=|b||d|cos∠BAD=(-1/2)(d・d)=(-1/2)|d||d| 前全問の結果から|b|=(√3/2)|d|を代入して (√3/2)|d||d|cos∠BAD=(-1/2)|d||d| これから求まりますね。

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質問者からのお礼

早速教えて頂いてとても助かりました。 本当にありがとうございました!

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

ちなみに (2) については, 図を描けば cos ∠ABC = 1/√3 はほとんど自明です. で平行四辺形ってことは∠BAD + ∠ABC = π なので cos ∠BAD = cos (π - ∠ABC) = -cos ∠ABC = -1/√3.

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質問者からのお礼

なるほど!そういう考え方もあるのですね。 早速のご回答、本当にありがとうございました!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

なんというか, まず「正確に式を書く」ところから始めてほしいなぁ. このままの式だと通じないよ.... 手元で計算する限りきちんと答えまでいくはずです. あなたがどのように計算したのかを書いてもらえませんか? b と d はベクトルだとわかるのでそのまま, 絶対値も |x| という形にして, 2乗は ^2 で書いてみてください. ちゃんとかっこも忘れずに.

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質問者からのお礼

ご意見ありがとうございました。 パソコンでの書き方が分らなかったため、こんな書き方になってしまいました。 申し訳ないです; 教えて頂いてありがとうございました。

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