ベクトルについて教えてください。

質問

ベクトルについて教えてください。

今内分と外分について勉強しています。
しかしよくわからないところがあるので教えてください。（考え方が）

例えば
2点A(aベクトル)、B(bベクトル)を結ぶ線分ABについて、次の点の位置ベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
(1) 2:1に内分する点
(2) 2:1に外分する点
という問題があったとします。
答えは
(1)は(1・aベクトル+2・bベクトル)/2+1 =(aベクトル+2bベクトル)/3

(2)は(-1・aベクトル+2・bベクトル)/2-1 =-aベクトル+bベクトル

になる事は公式に機械的にはめているのでわかります…

しかし図形問題になると考え方がよくわかりません。
例えば
平行四辺形ABCDの対角線BDの3等分点をBに近い方から順にE,Fとする。この時四角形AECFは平行四辺形である事を証明せよ。
という問題があったとします。
答えは
ABベクトル=bベクトル、ADベクトル=dベクトルとすると
AEベクトル=(2bベクトル+dベクトル)/1+2 =(2bベクトル+dベクトル)/3

と証明が始まり、四角形AECFが平行四辺形であることが証明されています。

しかし私には何故このような式になるのかわかりません。
公式がわかるので式の言いたいことはなんとなくわかるのですが、この問題のＡＥベクトルの場合なぜ分母の2はbベクトルにかかり、1はdベクトルにかかるのですか？
なぜその逆（2はdベクトルにかかり、1はbベクトルにかかる）ではいけないのでしょうか？
どのように考えればこのような考え方が出てくるのですか？
この先の解答の続きの考え方も教えていただけると幸いです。
ベクトルの考え方が本当によくわからず困っています。
学校の先生に聞いても納得がいかず、塾の先生に聞いたらもっとわけがわからなくなりました…。
なので皆様の考え方を是非私に教えてください。
わかりにくい文書ですいません。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#208392 · ベストアンサー

内積とか外積とか言う以前に、まず、ベクトルの足し算とベクトルの引き算の意味が良く分かってないんじゃないですか？

添付にそのAEベクトルを求める計算を書いておきました。
ベクトルの足し算というのは、図で書いてみれば、矢印をつなげていくことです。
例えば、ベクトルd というのは、ベクトルbとベクトルBDの和です。
bの矢印とBDの矢印をつなげると、Dに行き着くでしょう？だからベクトルAD（ベクトルd）とベクトルbとベクトルBDの和は等しいといえるのです。

ベクトルの和が定義できれば、差も自動的に定義できます。
ベクトルAD（ベクトルd）とベクトルbとベクトルBDの和は等しいのですから、ベクトルBDはベクトルdとベクトルbの差のはずですね。
添付の計算は、そこから書いてあります。

ベクトルBEはベクトルBDの三等分した点だと問題に書いてありますから、その通りに計算したのが２番目の式です。

ベクトルAEは、ベクトルbとベクトルBEの和です。
ベクトルbの矢印とベクトルBEの矢印をつなげれば、点Eにたどり着きますから、ベクトルAEとベクトルbとベクトルBEの和は等しいのです。
それを計算したのが、3番目の式。

分母の２がどうとか、それをどっちにかけるとか、そんなこと全然関係ないですよ。
順に足し算や引き算していけば、こうなります。

お礼

図形もついてとても分かり易かったです。
この問題について納得ができました‼
内分と外分についてはあまりよくわからなかったんですけど、1つ1つ考えて行けば解けるということがわかってほんとに良かったです。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#208392

内分・外分か・・・・失礼。

平行四辺形の話の続きもついでに書いておきます。
同じようにベクトルFCを計算します（添付）。
ベクトルFCとベクトルAEが等しい、つまり互いに平行で長さが等しいから、四角形AECFは平行四辺形。

お礼

平行四辺形の話の答えまで書いていただきほんとにありがとうございました‼

回答No.2

ferien

＞平行四辺形ABCDの対角線BDの3等分点をBに近い方から順にE,Fとする。この時四角形AECFは
＞平行四辺形である事を証明せよ。
という問題があったとします。
答えは
＞ ABベクトル=bベクトル、ADベクトル=dベクトルとすると
＞AEベクトル=(2bベクトル+dベクトル)/1+2 =(2bベクトル+dベクトル)/3

対角線BDの3等分点をBに近い方から順にE,Fとする　から、
ＢＥ：ＢＤ＝１：３なので、
ベクトルＢＥ＝(1/3)ベクトルＢＤ
以下”ベクトル”を省略して、
ＡＥ－ＡＢ＝(1/3)（ＡＤ－ＡＢ）
よって、
ＡＥ＝ＡＢ＋(1/3)（ＡＤ－ＡＢ）
＝（１－1/3）ＡＢ＋(1/3)ＡＤ
＝(2/3)ｂ＋(1/3)ｄ
＝（２ｂ＋ｄ）/３

という意味だと思います。

ＡＤ//ＢＣより、ベクトルＢＣ＝ベクトルＡＤ＝ベクトルｄ
以下は、”ベクトル”省略
ＢＦ＝(2/3)ＢＤより、
ＡＦ－ＡＢ＝(2/3)（ＡＤ－ＡＢ）
ＡＦ＝(１－2/3)ＡＢ＋(2/3)ＡＤ＝(1/3)ｂ＋(2/3)ｄ
ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ｂ＋ｄ
ＦＣ＝ＡＣ－ＡＦ＝（ｂ＋ｄ）－｛(1/3)ｂ＋(2/3)ｄ｝
＝(2/3)ｂ＋(1/3)ｄ
よって、
ベクトルＡＥ＝ベクトルＦＣだから、
１組の対辺が平行で大きさが等しいから、
四角形ＡＥＣＦは平行四辺形

でどうでしょうか？

お礼

そういう意味だったんですか‼
ありがとうございました。