早稲田 商学部 2009 数学

質問

以下の問題を相加相乗平均の関係を使って解こうとしたのですが解答と違う答えになりました。
理論上やっていることは間違っていませんよね？
もし間違いがあればご指摘いただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

状況を整理する。

AP = f(t) = (t^2 - 2t + 5)^(1/2),
BP = g(t) = (t^2 + 2)^(1/2)
とおいた時、任意の実数tに対して、f(t)>0, g(t) > 0が成立する。

ここで、所謂「相加相乗平均の関係」といっているのは、h(t) = 2 * { ( f(t) * g(t) )^(1/2) } とおけば、
◯ f(t) = g(t)の時は f(t) + g(t) = 2 * h(t)
◯ f(t) ≠g(t) の時は、f(t) + g(t) > 2 * h(t)
が成立すると言っている『だけである』。

これだけでは f(t) + g(t)の最小値がどうのとかいう主張は全くしていないことに注意。

よくある問題としては、上の条件で、
※ h(t)がtの値によらず、一定値 aとなる
※ f(t) = g(t) となるtが確かに存在する（例えば f(u) = g(u) となる
という条件が満たされる時は、
* f(t) = g(t)の時、例えば t=u の時は f(t) + g(t) = 2 * h(t) = 2a
* f(t)≠ g(t) の時、f(t) + g(t) > 2*h(t) = 2a
となってf(t) + g(t)の最小値が2aとなる 、ということが示される。

ところが今の問題の場合、h(t) は別に一定ではないので、
◯ 確かに t=3/2の時は、 f(t) + g(t) = 2 * h(3/2)は成り立つ。
◯ しかし t≠3/2の時は、 f(t) + g(t) > 2 * h(t)が言えるだけである。問題は、h(t)は t=3/2以外の点で最小値を取るかもしれず、仮にh(t)が 3/2では無い点 t=v (≠ 3/2)で最小値を取るとすれば、 f(v) + g(v) > 2 * h(v)は言えるが、h(v) < h(3/2)である故、 f(v) + g(v) > 2 * h(3/2)となるかは結論が出せない。

もう一度繰り返すが、
※ h(t) (= 2 * { ( f(t) * g(t) )^(1/2) } がtの値によらず、一定値 aとなる
※ f(t) = g(t) となるtが確かに存在する
場合には、確かに f(t) + g(t)の最小値が 2aであることは言えるが、そうでない場合は、この論法では最小値を示すことは出来ない。

ところで、e(t) = f(t) + g(t)に対し、e'(t) = 0となる tの値は、eをそのまま微分すれば、そこまで難しくない計算で算出することが出来る。

お礼

詳しくありがとうございます！
理解できました！

回答No.3

f272

すでに何がおかしいのかは回答があるので省略して、
√((t-1)^2+4)+√(t^2+2)
の最小値を求める。ここで
(t-1)^2=2t^2
のような関係があれば与式は
√(2t^2+4)+√(t^2+2)
となって一定値となる。
このとき tの値は(t-1)^2=2t^2からt=-√2-1とt=√2-1があるが、t^2+2を最小とするためt=√2-1とする。
したがって与式の最小値は
(√2+1)√(t^2+2)=(√2+1)√(5-2√2)
となる。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

gamma1854

sqrt(...)+sqrt(...)≧2*{(t^2-2t+5)*(t^2+2)}.
より、等号成立時は、
t=3/2, 右辺は、
sqrt(17)
となります。

お礼

ありがとうございます！！