早稲田商学部 2014 数学

質問

以下の写真の問題を解いたのですが、解答と答えが合いません。
解答では余りの部分を　(ax+b)(x^2-x+1)+cx +d
と置いていたのですが、この置き方でなくてはダメなのでしょうか？
僕の答案の間違っているところを指摘していただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

「x^2+x+1=wとおくと①よりP(w)=w+1」は「x^2+x+1=０の解をwとおくと①よりP(w)=w+1」と言いたいのだろうが、最後に書いている余りはあまりにも無茶苦茶です。xについての多項式P(x)を4次式(x^2+x+1)(x^2-x+1)で割った余りは３次式になります。分数式を平気で書くのはどういうことなのか？
P(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q1+ax(x^2-x+1)+bx^2+cx+d
と置くのはかまいませんが
P(x)を(x^2-x+1)で割ると余りがx-1だからと言ってb=0、c=1、d=-1にはなりません。bx^2+cx+dも(x^2-x+1)で割ることができますから、
b+c=1、d-b=-1です。
P(x)を(x^2+x+1)で割ると余りがx+1ですから
P(w)=aw(w^2-w+1)+bw^2+cw+d=w+1
aw(-2w)+b(-w-1)+cw+d=w+1
2a(w+1)+b(-w-1)+cw+d=w+1
(2a-b+c)w+(2a-b+d)=w+1
したがって2a-b+c=1、2a-b+d=1です。
b+c=1、d-b=-1と合わせて考えるとa=1、b=1、c=0、d=0です。
求める余りはx(x^2-x+1)+x^2=x^3+xになります。

お礼

ありがとうございます。
理解できました！

回答No.3

tmppassenger

状況を整理する。

P(x)を x^2 - x + 1で割った余りが x-1 なのだから、ある多項式 Q(x)が存在し、P(x) = Q(x) (x^2 - x + 1) + (x-1)と書ける。

ここで、問題に「P(x)を x^2 + x + 1 で割ると」とあるのだから、Q(x)をx^2 + x + 1で割った剰余を考えるのは、別に自然な発想である。

Q(x)をx^2 + x + 1で割った時の商をR(x)とおく。余りは高々一次式なのでax+bとおけば、
Q(x) = (x^2 + x + 1) R(x) + (ax+ b)と書ける。

従って、
P(x) = (x^2 + x + 1) (x^2 - x + 1) R(x) + (ax+ b) (x^2 - x + 1) + (x-1)
と書ける。これが解答の方針。別に不自然ではない。
このP(x)を (x^2 + x + 1) で割ったあまりは、 (ax+b) (x^2 - x+1) + (x-1)を
(x^2 + x + 1)で割った余りに等しい。

(ax+b) (x^2 - x+1) + (x-1)
= (ax+b) { (x^2 + x+1) -2x} + (x-1)
= (ax+b)(x^2 + x+1) + -2ax^2 + (-2b + 1)x - 1
= (ax + b -2a) (x^2 + x + 1) + (2a - 2b + 1) x + (2a - 1)であるから、

P(x) を(x^2 + x + 1) で割った余りは、結局 (2a - 2b + 1) x + (2a - 1)である故、 a = b = 1が求まり、
結果P(x)を(x^2 + x + 1) (x^2 - x + 1)で割った余りは、(ax+ b) (x^2 - x + 1) + (x-1) = x^3 + xが求まる。

「この置き方でなくてはダメなのでしょうか？」とあるが、いきなり「なんでこの置き方なの?」という考え方ではなく、「f(x)をg(x)で割った余りがr(x)なら、あるs(x)があって、f = gs + rと書けるはず」という基本に立ち返れば分かるはず。原理を理解すること。

ここであなたの回答を見返す。
あなたの回答では、
P(x) = (x^2 - x + 1) { (x^2 + x + 1) Q(x) + ax} + bx^2 + cx + d
とおいてある。確かにこうおける。

しかし、この後の
「P(x)をx^2 - x + 1で割ったあまりが x-1であるから、(b,c,d) = (0, 1, -1)」
という段階で既に間違っている事は分かっていますか？

上の式だと、 P(x)を (x^2 - x + 1)で割った余りは、bx^2 + cx + d を(x^2 - x + 1)で割った余りである。これは (b+c)x + (d-b)であって、従って、b+c =1, d-b = -1としか言えない。

さらに、一番上でミスをしているので、最後の段階でも混乱している。
正しくはx^2 + x + 1 = 0の虚解の一つをwとする、であって、x^2 + x + 1 = w とする、ではない。なので、（先程にも書いた通り途中で既にミスをしているが、）最後 a= 1/(w+1)（これも間違っているが）を代入して、P(x) のあまりの式で、xの多項式が分母に来ているというおかしな状態になっている。
繰り返すが、x^2 + x + 1 = 0の虚解の一つをwとする、であって、x^2 + x + 1 = w とする、ではない。

因みに、先程にも書いた通り、b+c =1, d-b = -1という結果と、P(x)にx=wを代入した結果では式が3つしか出来ず、このままではa, b , c, dと4つ未知数があるものを導出することが出来ない。これを解決するには、x^2 + x + 1 = 0の虚解が「2つある」ことを利用しないといけない。

お礼

ありがとうございます！！
理解できました！！

回答No.1

kiha181-tubasa

＞解答では余りの部分を　(ax+b)(x^2-x+1)+cx +d　と置いていたのですが、この置き方でなくてはダメなのでしょうか？

　いいえ，「整式P(x)を４次式(x^2+x+1)(x^2-x+1)で割っているのだから,余りは３次以下の整式なので，ax^3+bx^2+cx+dと置くことができる」で出発するのが，一番基本的です。
　模範解答(？)にあると質問者が書いているような，ような「余りを(ax+b)(x^2-x+1)+cx +dと置く」のは，裏技という程ではないにせよ，予備校などでの演習慣れしている浪人向けの解答向けに思えます。これで，何が助かっているのかな？　文字はa,b,c,dの４つで楽になるわけでもなさそうだし……。自分はこのような回答を嫌います。現役生(高校生)なら，基本通りの地に足がついた(だから多少泥臭い)「整式P(x)を４次式(x^2+x+1)(x^2-x+1)で割っているのだから,余りは３次以下の整式なので，ax^3+bx^2+cx+dと置くことができる」で解答することをお勧めします。
※以下を参考にしてください。

また，最後の答(余り)が分数式になっているのは「徹底的におかしい！」と感じなければいけませんよ。余りは３次以下の整式ですから。
さらに，「x^2+x+1=wとおくと①よりP(w)=w+1」は？？？？。

※基本的な(教科書的な)解き方＝現役高校生向き

整式P(x)を４次式(x^2+x+1)(x^2-x+1)で割っているのだから,余りは３次以下の整式なので
ax^3+bx^2+cx+dと置くことができる。商をQ(x)として
P(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d

ここで，ax^3+bx^2+cx+dをx^2+x+1で割って商と余りを求めると
商がax+(b-a)，余りが(c-b)x+a-b+dとなるので
ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+x+1)(ax+(b-a))+(c-b)x+a-b+d

従って
P(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q(x)+(x^2+x+1)(ax+(b-a))+(c-b)x+a-b+d
=(x^2+x+1)((x^2-x+1)Q(x)+(ax+(b-a))+(c-b)x+a-b+d

P(x)を(x^2+x+1)で割ると余りがx+1なのだから
(c-b)x+a-b+d=x+1
がxの恒等式である。ゆえに
c-b=1, a-b+d=1　……(１)

同じように余り，ax^3+bx^2+cx+dをx^2-x+1で割った商と余りを求めて，上と同様の計算をしてもう一組のa,b,c,dを未知数とする方程式が出ます。
これらの４つの未知数の連立方程式を解けばよいのです。頑張れ！！

補足

ありがとうございます。
4次式で割っているのだから余りをax^3+bx^2+cx +d と置くのが一般的と言うことを理解した上で、僕自身の解答に書いたように余りをあえて変形しました。
あとWではなくωと書いたつもりです。
この問題の形を見た時にωの性質を使うと簡略的に答案を作成できると思い、工夫したつもりでした。