数学Iの２次関数です。

質問

数学Iの２次関数です。

放物線y=x^2+ax+bは、直線y=xとy=2x-1の両方に接する。このとき、a,bの値を求めよ。

という問題の解答で、

y=x^2+ax+b …(1)
y=x …(2)
よりyを消去して
x^2+(a-1)x+b=0
D=(a-1)^2-4bとすると
(1)と(2)が接することより、D=0
すなわち(a-1)^2-4a=0
……… (解答を一部抜き出しました)

とありますが、なぜD=0なのですか？D>0の場合はないのですか？
また、なぜy=x^2+ax+bのグラフはx軸と共有点を持たないグラフだということがわかるのですか？

添付画像は解答のグラフです。
解説よろしくお願いします。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞なぜD=0なのですか？D>0の場合はないのですか？

言葉の問題だと思いますが、
Ｄ＞０　の場合は２ヵ所で直線と「交わる」、
Ｄ＝０　の場合は１ヶ所で直線と「接する」、
です。

＞＞＞また、なぜy=x^2+ax+bのグラフはx軸と共有点を持たないグラフだということがわかるのですか？

結果的に、
ｙ　＝　ｘ^2－１／２・ｘ＋９／１６　＝　（ｘ－１／４）^2＋１／２　（　＞　０　）
となるように作った問題なので、それと矛盾がないような図が描かれているだけです。

お礼

わかりやすいです、ありがとうございます。

回答No.3

noname#157574

No.1さんの回答には不備があります。正しくは
D＞0のとき，異なる2つの実数解
D＝0のとき，重解
D＜0のとき，異なる2つの虚数解
です。接するのはもちろんD＝0のときです。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

alwen25

２次関数の場合
代数学的に重根を持つ→接すると機械的に覚えてもいいです。
直観的には、直線を接線まで近づけていった時の
極限とでも思ってください。

お礼

なるほど、ありがとうございます。

回答No.1

happy2bhardcore

判別式Dは
D>0で異なる2実数解
D=0で共通解
D<0で解なし
です。

問題文より放物線は直線と「接する」と書いてあります。
接すると言うのは共有する解を１つもつということと同義です。

＞＞y=x^2+ax+bのグラフはx軸と共有点を持たないグラフだということがわかるのですか？

ご自身で2つの直線を描き、その2つに接するような放物線を考えればｘ軸と共有点を持たないというのは一目瞭然だと思います。

お礼

ありがとうございます！