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逆関数(大学受験問題)

次の問題について質問させてください。 分数関数f(x))=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求める問題です。 解答は y=(ax+b)/(cx+d)をxについて解くと x(cy-a)=-dy+b すなわちx=(-dy+b)/ cy-a とあるんですが、ここで質問です。 この場合cy-aで割っているので、cy-a≠0を示す必要があるのではないですか? 問題文には特に示されていないのですが・・・。 ただ自分で示そうと思っていろいろやってみたのですが、できませんでした…。 それともここでは示す必要はないのでしょうか? どなたかご存知の方アドバイスをお願いできませんか。よろしくお願いいたします。

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  • 回答No.3

>逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします いえるんですよ. y=(ax+b)/(cx+d)は y=a/c は絶対にありえません. 少し式を変形します y = ( (a/c) (cx+d) -ad/c +b ) / (cx+d) = (a/c) + A/(cx+d) A = -ad/c +b と表せます.A/(cx+d)は xが定義域中のどんな値をとっても0には なりません つまりy=a/cは起こりえないのです. こんな計算をしなくても, グラフを考えれば一目瞭然でしょう 分数関数の場合 漸近線には近づくだけで点を共有することは ありません. したがって,解答のように やってしまってかまわないのですが 気になるのであれば, 問題がない旨を答案に書けばいいのです むしろ,書いた方が 採点者に「わかって書いてるんだぞ」という 主張になります. ちなみに本当にめんどくさいのは 「関数f(x)=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求めよ」 という問題です.「分数」の文字が消えただけですが めんどくささ倍増です.とけますか? 同様の問題に 「方程式ax^2+bx+c=0の解を求めよ」 ってのがあります.

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質問者からのお礼

kabaokabaさま、ご回答ありがとうございます。 解読にかなり時間がかかってしまいました。 で、やっとわかりました。y=a/cは漸近線だったのですね。式変形のところもなにをどう変形してなんのために?と思ったのですが、ただ割っただけだったのですね。いやでも、y=a/cがすぐに漸近線だとどうしてわかったのでしょうか?私もまだまだ勉強がたりません。ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • YomTM
  • ベストアンサー率25% (14/56)

 x=(-dy+b)/ cy-aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれませんので、結果として問題はなさそうです。  完璧な回答をめざそうとするのであれば、関数という切り口ではなく、代数学的に、cy-a=0の場合とそうでない場合で場合分けをすればいいと思います、、、 と思いましたが、題意からcy-a=0とは、なり得ないことが背理法により示せました。  仮にcy-a=0と仮定すると、cy=a ここで、仮にc=0ならa=0で、f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。 ∴c≠0…(1) よって、cy=a⇔y=a/c…(2)  また、 x(cy-a)=-dy+b ⇔ dy=b 同様に、ここで、仮にd=0ならb=0で、f(x)≡a/c(xの定義域はx≠0)となり、逆関数を求めるという題意に反する。 ∴d≠0…(3) よって、dy=b⇔y=b/d…(4)  (2)、(4)⇒a/c=b/d⇒ad=bc…(5)  ところで、(1)、(3)より、 f(x)=(b/d){(adx+bd)/(bcx+bd)}(∵(3))   =(b/d){(bcx+bd)/(bcx+bd)}(∵(5))   =b/dで、 f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。  以上から、cy-a=0の場合はあり得ない、 すなわち、c・f(x)-a=0となるxは存在しない。                    (q.e.d)  これなら、f(x)=a/cが値域にないことを直接証明した方が早い気がしてきましたが、このようなところでいかがでしょうか?

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質問者からのお礼

YomTMさま、早速ご回答いただきありがとうございました。 ですが、「 x=(-dy+b)/ cy-aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれません」とのことですが、残念ながら、この意味がわかりません。No.1さんもそのようにおっしゃっていましたが、私の勉強不足でわかりません。この「関数の形式から」ということはどういう意味でしょうか?この関数の形式でもy=a/cの可能性はあると思うのですが・・・。申し訳ありませんが、より詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

  • 回答No.1

>>cy-a≠0を示す必要があるのではないですか? 示す必要はありません。 f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。

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質問者からのお礼

springsideさま、ご回答ありがとうございます。 ですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。」とのことですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されない」はわかりますが、逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします。もともとf^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)とあれば、x=a/cにおいては定義されない、といえると思うのですが・・・。

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