数学オリンピック 2005年 6番

質問

２＾aと4^bの
相加相乗平均を使って解こうとしたのですが
解答は2^a/2と2^a/2と4^bの相加相乗平均で解いてありました。
２＾aと4^bがだめで2^a/2と2^a/2と4^bが何故よいのか教えて下さい!!

回答No.1

Tofu-Yo · ベストアンサー

すごい・・・目から鱗の解答ですね。こちらが勉強になりました。

２＾a＋４＾b=２＾a＋２＾2b

に単純に相加相乗平均を用いてしまうと、右辺の√の中が、

２＾(a+2b)

となりますが、与えられているのはa＋bの値なので、綺麗にa、bが消えてくれません。
右辺では２^aの方は２回掛け算されるのが望ましいのです。
（右肩にaではなく2aが乗れば、２＾（2a+2b）=２＾2（a+b）となって綺麗にa、bが消えるので）

そんなの無理・・・と小生も一瞬考えましたが、この解答は３つの正の実数での相加相乗平均を用いて、うまく２＾aを２回かけているのです。

一般に、ｎ個ヴァージョンの相加相乗平均の大小関係から次の不等式が成り立ります。高校では出てこないと思いますが、2個でもn個でも同じです。

A1≧0、A2≧0、...An≧0のとき
A1＋A2＋...＋An≧ｎ×（A1×A2×...×Aｎ）＾（1/n）
（等号成立はA1＝A2＝...＝Anのとき）

これのｎ=3を用います。右辺で右肩に2aが乗るには、２＾a＋２＾2bの２＾aを半分ずつに分けてしまえばいいんです。
（等号成立条件のため、半分ずつ以外はNG。例えば1/3・２＾aと2/3・２＾aに分けるのは×。）

２＾a＋２＾2b
=(1/2)・２＾a＋(1/2)・２＾a＋２＾2b
≧3×（(1/2)・２＾a×(1/2)・２＾a×２＾2b）＾(1/3)
＝3×（(1/4)・２＾(2a+2b)）＾(1/3)
＝3×（(1/4)・２＾(2(a+b))）＾(1/3)
＝3×（(1/4)・２＾(2×17)）＾(1/3)
＝3×（２＾(-2)×２＾34）＾(1/3)
＝3×（２＾32）＾(1/3)
＝3×（２＾(3・10)×２＾2）＾(1/3)
＝3×（２＾(3・10)）＾(1/3)×（２＾2）＾(1/3)
＝3×２＾10×（２＾(2/3)）
＝3×２＾10×（２＾(2/3)）
＝3072×（２＾(2/3)）

等号成立は、(1/2)・２＾a＝２＾2bのときで、すなわちa-1=2bのとき。
a+b=17との連立方程式から、a=35/3、b=16/3のとき。

何か変な答えになったなぁ…どっかで計算ミスしてたらごめんなさい。
考え方は合ってると思うんですが…

この問題のポイントは、３個以上ヴァージョンの相加相乗平均を知っていること、条件a+bがうまく右辺で現れるようにすること、等号成立条件を満たすことをちゃんと確認すること、の３つですね。

う～んいい問題だな～

お礼

なるほどー！そんな上手いしかけが！答えはあってましたよ！ありがとうございました！！！