加群準同型の普遍性について

質問

画像の命題2.4.24でf:N→ΠMiが一意に存在するとありますが、なぜ一意的と言えるのかが、分かりません。
まず、条件から任意のz∈Nとf(z)∈ΠMiに対して、
pi(f(z))=pi○f(z)=fi(z)であり、またpiはその定義(画像上部の説明)から全射なのでpi((fi(z))i∈I)=fi(z)となる
(fi(z))i∈I∈ΠMiがあるので、
f(z)=(fi(z))i∈Iとなれば一意的と言えるというところまでは分かるのですが、f(z)=(fi(z))i∈Iって成り立つの？というのが疑問です。

ご教授頂けますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

p[i] というのは、要は直積の元の「第i座標」。つまり、（記号iがかぶっているので記号を変えると）g∈Π[k] M[k] の「第j座標」が g_j である時、p[j] : Π[k] M[k] →M[j] を、p[j] (g) = g_j と定義しているのだから、g = < .... , p[j](g), ... >

従って、p[i]◯f = f[i] というのは、f(z)の第i座標がf[i](z)であるという事。
つまり、 f(z) = < ....., f[i](z), .... > でなければならない。従って、fは一意的。

お礼

写像piの定義を丁寧に追えてませんでした。。
スッキリ解決しました！ありがとうございます