• ベストアンサー

加群準同型の普遍性について

画像の命題2.4.24でf:N→ΠMiが一意に存在するとありますが、なぜ一意的と言えるのかが、分かりません。 まず、条件から任意のz∈Nとf(z)∈ΠMiに対して、 pi(f(z))=pi○f(z)=fi(z)であり、またpiはその定義(画像上部の説明)から全射なのでpi((fi(z))i∈I)=fi(z)となる (fi(z))i∈I∈ΠMiがあるので、 f(z)=(fi(z))i∈Iとなれば一意的と言えるというところまでは分かるのですが、f(z)=(fi(z))i∈Iって成り立つの？というのが疑問です。 ご教授頂けますと幸いです。 よろしくお願いいたします。

画像を拡大する

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

p[i] というのは、要は直積の元の「第i座標」。つまり、（記号iがかぶっているので記号を変えると）g∈Π[k] M[k] の「第j座標」が g_j である時、p[j] : Π[k] M[k] →M[j] を、p[j] (g) = g_j と定義しているのだから、g = < .... , p[j](g), ... > 従って、p[i]◯f = f[i] というのは、f(z)の第i座標がf[i](z)であるという事。 つまり、 f(z) = < ....., f[i](z), .... > でなければならない。従って、fは一意的。

admjgptw123
質問者

お礼

写像piの定義を丁寧に追えてませんでした。。 スッキリ解決しました！ありがとうございます

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 準同型写像

    m,n∈Nにおいて f:Z → Z/mZ + Z/nZ a → (a+mZ,b+nZ) とするとき、fは準同型写像であることを示せといわれましたが何を示せば良いかわかりません！あとKerfをmとnの言葉で答えよというものや、fが全射となる条件というのもさっぱりなのでヒントでもよいですから教えてもらえるとうれしいです！

  • 環準同型

    代数の勉強をしていてわからないことがあります。 Rを環とし、Rの単位元を1とする。このとき、整数環ZからRへの環準同型 ｆ：Z→R が唯１つ存在する。 f(n)=n・１（nはZの元）で与えられるf：Z→Rは環準同型である。これが唯１つの環準同型である。 と、あるのですがこれが環準同型であることは、定義にしたがってあてはめればわかったのですが、 唯１つであるということがわかりません。 なぜこのように結論付けられるのか教えていただけないでしょうか。

  • 巡回群が加法群Ｚと同型であることを示す、代数学の問題です。

    Gを巡回群とすると、任意のGの元はa^n(n∈Z)（aは生成元）となり、 f:Z→Gをf(n)=a^nで定める。 このあと全単射を示すところで単射を示す際、 a^n=a^m　から、 　n=m　とできますか？ また、ここまでのやり方はあってますか？ 回答お願いします。

  • 同型であることの示し方を教えてください。

    整数Ｚと有理数Ｑが加法群として同型であるかどうかを示したいのですが、 同型であることを示す証明がいまいちできません。 写像をどのように定義すればいいのですか？ 写像を定義すればあとその写像が f(ab)=f(a)f(b)であることを示して 全射であることを示せばいいと思うのですが・・ 写像がいまいちわかりません。 あと、R　→　R*=R-{0} の時の写像もどのように考えればいいのでしょうか？

  • 部分群の位数の形は?

    自然数n>1に於いて 　m n=Π(pi)^(ri) (m,ri∈N,　p1,p2,…,pmは相異なる素数) 　i=1 とする。 位数nの群の部分群の位数は (pi)^(ri) (m,ri∈N,piは素数 (i=1,2,…,m)) のみである。 (つまり、(pi)^(ri)pj^(rj)といった形の位数を持つ事はない) という主張なのですがこの命題は正しいといっていいでしょうか?

  • 加群とテンソル積についての初歩的な質問です。

    加群とテンソル積についての初歩的な質問です。 M,NをR加群とする。次の性質を持つR加群Lを、MとNのR上のテンソル積といい、M*Nと書く。 (条件1)R-双線形写像Φ:M×N→Lが存在する。 (条件2)任意のR加群Uと任意のR-双線形写像F:M×N→Uに対し、R準同型写像fが一意的に存在して、F＝f・Φが成立する。 Φ(x,y)＝x*yと書くことにする。 ここからが質問内容です。 R＝Kを体とする。M,NをK上のベクトル空間とする。 u_1,・・・,u_nをMの基底、v_1,・・・,v_nをNの基底とする。 このとき、以下の2つの事が成り立つことが分かっています。 (1)M*Nの任意の元は、mn個の元u_i*v_j (1≦i≦n,1≦j≦m)の線形結合で書ける。 (2)dim(M*N)＝dimM×dimN＝mn このとき一般論から、mn個の元u_i*v_jはM*Nの基底になりますよね？ だとしたら、このmn個の元が一次独立であると示せると思うのですが、これが示せません。 つまり・・・ Σ(c_ij)u_i*v_j＝0　(c_ij∈R)　⇒　c_ij＝0 を証明できません。でも基底なのだから証明できるはずですよね？ 例えば、n＝2,m＝2等の簡単な場合ですら、示せない状況です。 示せる方がいたら、どうか教えてください。

  • 圏論:単射かつ全射であるのに、同型でない例

    圏論を勉強し始めたのですが、「mono(単射) かつ epi(全射)であるのに、iso(同型)でない例」を以下のように考えました。この考え方は正しいでしょうか？ 対象 ABC と、射 f:A→B 、g:B→C 、 h=g・f と、自明な3つの恒等射 からなる圏において、 これらは圏の定義を満たす。 fはmono (∵ Aへの射はAの恒等射のみであり、一意) fはepi (∵ Bからの射は2つ。BからCの射はgのみなので、一意。BからBへの射は恒等射のみなので一意。) fはisoでない (∵ BからAは射が存在しない)

  • 数学　ネーター加群の質問です

    R-加群の直和: ＋○ i=1→n M_i (M_1からM_nまでの直和のこと)がネーター加群である ⇔各M_iがネーター加群である. という命題の証明です。 ⇒)は明らか. ←)の証明は、解答には n≧2のとき,R-同型 ＋○ i=1→n M_i /M_1 (同型) ＋○ i=2→n M_i より, (1)とnに関する帰納法を用いればよい. とありました。 (1)の内容は, 『NをR-加群Mの部分加群とする.Mがネーター加群である必要十分条件は,NおよびM/Nがネーター加群になることである.』 というものです。 解答の同型の意味がよくわからず、詰まってしまいました。また、同型を仮定したとして、帰納法がうまくできません。 よろしければご助言お願いします。

  • 写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

    大学の問題で、 関数f,g：N→Nを以下のように定義する。 f(n) = 3n, g(n) = [n/3]+1　　　　　※[ ]は床関数を表す fとgの合成gfが満たす性質を選べ。 (A)単射でも全射でもない(B)単射だが全射ではない (C)全射だが単射ではない(D)全単射である という問題なのですが、gfが1となる元が存在しないので(B)の単射だが全射ではないと思うのですが、回答を見たら(D)の全単射でした。なぜ全射になるのか分らないのですが、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 指数関数論 e^z=e^(z+2πi)の証明

    1. e^(z)=e^(z+w) ⇔ ∃n∈Z;∃π>0;w=2nπi 2. ∃π>0(e^(z)=e^(z+w) ⇔ ∃n∈Z;w=2nπi) は同値だと思っていいのでしょうか？ もし、同値でないとしたら、どちらが真の命題でしょうか？ (できれば、三角関数を使わずに証明したいです) また、どちらも真の命題とはいえないのでしょうか？ これは、2. のみを証明すべきだと思いますが 論理学の公理から1.と2.が同値でないことを示せないでしょうか？ このことを示すと基本周期が純虚数になることが分るので π:=min({x>0|∀z∈C,e^(z)=e^(z+xi)})/2と 定義したいと思ってます

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する