運動方程式はなぜ１次式なのですか？

質問

運動方程式はなぜ１次式なのですか？（実はその裏にはテーラー展開があって、その結果としてma=Fの１次式の形になっているとかですか？）

回答No.3

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「ランダウの力学」の冒頭に、次のような記述があります。

「経験的に、ある時刻の位置qと速度q'が与えられれば、その後の運動の予測が可能になる。これは数学的にはqとq'から加速度q"が決定されるという事であり、運動は加速度q"で駆動される。q"とq，q'を結びつける関係を、運動方程式という」（意訳です）

　またアインシュタインの「物理学はいかに創られたか」や山本義隆の「重力と力学的世界」にも書いてありますが、力が直接速度を生じさせるわけではない、と正式に定式化されるまでには、1000年以上の歳月が必要でした。菅野礼司の「物理学の論理と方法」では、

「力が直接速度を生じさせない事は、ニュートンの第一法則（慣性法則の帰結である」

とあります。では力は何を生じさせるのか？。ランダウによれば、それは加速度です。そういう訳で運動方程式、

　　F＝ma　　　(1)

になるのですが（自分はこの順序が好きです(^^)）、問題は力Fは現実の力、例えばバネ秤で測ったような力と一致するのか？という点です。
　ファインマンは、(1)は力の「定義として」数学者にはアッピールするものではあるが、物理屋にとっては全く不満足なものだと言ったそうです（「重力と力学的世界」情報(^^)）。よって重要なのは、運動方程式によって「定義される」力が、現実の力と一致するかどうかです。

　この点についてニュートンは、物凄い仕事をします。彼がピリンピキアの中でやった証明は次のようなものです。ニュートンは、忘れ去られていたケプラーの法則をどこからか見つけ出し（「重力と力学的世界」情報(^^)）・・・、

　運動方程式＋ケプラーの法則　⇒　万有引力の法則
　運動方程式＋万有引力の法則　⇒　ケプラーの法則

を示します。これにより、(1)はほぼ確定します。
　そして万有引力の法則が得られた事で、地表面の重力はmgで良いとなります。これと当時得られていた最高の物理的成果、ガリレイの落体理論を結びつけるとF＝mg。
　(1)によって「定義される」力と、バネ秤によって「測定される」力は同一だとなります。ただし17世紀にはgの値を定量化できませんでした。gの値を算出するためには、重力定数Gの値の測定が不可欠でした。それは18世紀のキャベンディッシュの実験まで持ち越されますが、理論的枠組みは既にあったわけです。

　それから丸ごと3世紀。有効数字のオーダーを6桁以上も上げ続けた、おびただしい追試を繰り返してもF＝mgは反証されていません。もちろん、「現状では」ですが・・・(^^;)。

［参考文献］
　力学，ランダウ・リフシッツ理論物理学教程１，東京図書．
　重力と力学的世界，山本義隆，現代数学社．
　物理学の論理と方法(上)(下)，菅野礼司，大月書店

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。

F＝maのFは現実の力、例えばバネ秤で測ったような力と一致するのか？という点について非常に的確でわかりやすいご解説をありがとうございました。とても納得できました。

本当にありがとうございました。

回答No.2

atm_phantom

自然界の減少をよく観察して、測定結果を分析して、最初は貴方の言うように一次近似で運動方程式を論文として提出したかもしれません。しかし、その後それをもとに自然現象が精度良く説明でき、ハヤブサの無事帰還やアポロ11号は月を往復できるだけの精度良い計算ができるという事実の下には、一次近似の高次補正は今のところ不要というのが本当の所でしょう。将来、物理学が進歩して、補正項の議論が絶対に出ないという保証はありません。それを扱うのは貴方方若い世代の仕事と思います。

万有引力の「 距離の逆２乗の規則 」について、"２"が正しい近似であるかの論文が出ていることを聞いた ( 読んだことはありません。) ことがあります。

回答No.1

nihonsumire

専門家ではありませんが、実験結果から、力が質量と加速度に正比例することが言えると教わった記憶があります。また、正比例すると仮定することで、精度の高い分析が出来るとのことです。シンプルな式で、良かったと思います。