運動方程式

質問

F=maを使い
運動方程式を導くときに、x,y座標図面を書くとします。
座標軸の正方向は適当に設定していいのでしょうか？？
座標軸の負方向にmaの力を設定すると教科書に書かれています。
もし、正方向を逆に設定したばあい、運動方程式も違ってくるのですが
よいのでしょうか？

回答No.7

ency

No4 ency です。

<No4 回答に対するお礼より>
| 最後に確認ですが初期条件を代入して
| 速度、位置の式をもとめるとき
| 設定した座標の正負によって式もことなりますよね？？

そうですね。
位置の座標の正の向きが異なれば、速度の正の向きも異なりますし、加速度の正の向きも異なることになります。

ちなみに、力学の問題を解く場合、手順はこんな感じで進めますよね。
# 高校物理の範囲で話をしています。
# 大学物理(力学)では、話が一般化されているため、特に座標の正の向きの
# 決め方など、必ずしも以下の手順に沿わない場合があります。

1. 力探し。
⇒重力、垂直抗力、摩擦力、外力…。

2. 作用点、作用線、向き、大きさに注意して力を矢印の形で図示する。

3. 座標の正の向きを決定する。
⇒運動の初速度の向きを正にとるとわかりやすいことが多い。

4. 図示した力の矢印の向きと、座標の正の向きに注意して、運動方程式を立てる。
⇒力の矢印の向きと正の向きと一致している場合は +F、逆の場合は -F として式を立てるのがポイント。
⇒加速度の向きは、お好みで。考えた向きと逆の結果だったら、答が正負逆転して出てくるだけ。

…ここまで来たら、あとは運動方程式を解くだけですね。

座標変換云々の話も出てきているようですが、高校レベルの力学であればあまり意識することはないと思います。
大学の力学の場合、話を一般化するために座標変換を式変形でやったりもしますが、それは力学の本質とはあまり関係が内容に思います。

まずは、座標の正の向きと自分で図示した力の矢印の向きの違いから、正負が逆転した式が立つということを理解できるようになってください。
その上で、どういう向きを正にとると問題を解きやすくなるのか、教科書や問題集ではなぜその向きを正にとっているのか、考えてみると良いと思います。

回答No.6

hogehogeninja

補足ですが、方程式の不変性からいえば、本来は「Fg'はx'軸の正の向きを正に採る」とx軸の採り方によらず同様に定義知れば、ちゃんと
「Fg'-Ff'-ma'=0」という式がでてくると思います。

回答No.5

hogehogeninja

絵を見るとFgなどは矢印で書いてあって、「正にとる」という暗黙の了解がるからでは？

はじめの系では
「Fg-Ff-ma=0」
で、「Fgはｘ軸の正の向きを正に取る」となっていて、
軸を変えたときには
「Fg'-Ff'+ma'=0」
と確かに式が変わりますが、それは
「Fg'はｘ’軸の負の向きを正に取る」と定義がかわっているからでは？

お礼

そうですね・・。定義によってかわりますね。
ありがとうございます。

回答No.4

ency

要するに運動方程式を立てる場合、正の向きをどうとればよいのか？ということが質問のポイントということで良いですか？

よく見かけるのは「初速度の向きを正にとる」というやり方でしょうか。

<No2 ken_dosankoさんの回答に対するお礼より>
| 下にxの正方向をとり
| 運動方程式はFg-Ff-ma=0です。
| そして、もし、上にxの正方向をとると
| 運動方程式はFf-Fg-ma=0となってしまいます。

下向きを正とした場合、加速度 a1 とすると
　Fg - Ff = ma1
⇒a1 = (Fg-Ff)/m

上向きを正とした場合、加速度 a2 とすると
　Ff - Fg = ma2
⇒a2 = (Ff-Fg)/m

となりますよね。

では、実際に加速度の向きは、上向きでしょうか、下向きでしょうか。

(1) Ff > Fg の場合を考えてみます。

上向きを正とした場合
　a1 = (Fg-Ff)/m = -(Ff-Fg)/m < 0
⇒上向きを正と考えて負の値になったので、下向きですよね。
そして、大きさは
　|a1| = |Fg-Ff|/m = (Ff-Fg)/m
ですよね。

一方、下向きを正とした場合
　a2 = (Ff-Fg)/m > 0
⇒下向きを正と考えて正の値になったので、下向きですよね。
そして、大きさは
　|a2| = |Ff-Fg|/m = (Ff-Fg)/m

このように、上向きを正にとっても下向きを正にとっても、Ff > Fg の場合、加速度は下向きに大きさ (Ff-Fg)/m となります。

つまり、どちらで考えても結果は同じになります。

(2) Ff < Fg の場合はどうでしょうか。
# ご自分で考えてみてください。

とりあえず、こんな感じでイメージはつかんでいただけたでしょうか。

お礼

長く詳しくありがおうとうございます。
とてもわかりやすかったです。
最後に確認ですが初期条件を代入して
速度、位置の式をもとめるとき
設定した座標の正負によって式もことなりますよね？？
最後の最後まですみません。

回答No.3

ken_dosanko

＃２のものです。

座標変換の理解ができていないようですね。座標を反対にすれば、加速度の符号も反対になります。加速度の符号を同じにしているのが間違いです。

下にxの正方向なら、Fg-Ff-ma=0

下にxの正方向なら、Ef-Fg-m(-a)=0

どっちも同じです。あとは先生に聞くなり、自分で理解してください。

回答No.2

ken_dosanko

運動方程式は座標系の定義と関係ありません。

座標系の定義は、ニュートンの運動方程式の前に出てくる、力学の第1法則のレベルの話です。そう習いませんでした？

だからどう方向選んでも関係ないです

運動方程式の
１＝１
が
－１＝－１
になるだけの話です。

お礼

回答ありがとうございます、頑固な頭が理解してくれずすみません。
例えば
下にxの正方向をとり
運動方程式はFg-Ff-ma=0です。
そして、もし、上にxの正方向をとると
運動方程式はEf-Fg-ma=0となってしまいます。
これはどうなのでしょうか？？・・・
くどくてすみません。

回答No.1

chiezo2005

F=ma自身が運動方程式ですから，これから運動方程式を導くというのは意味が良くわかりません。
運動の軌跡を導くという意味だと思います。
以下，そう判断させていただいて回答いたします。
運動方程式は直交座標を使っている限りは形は変わりませんから，どのように設定しても自由です。
少し勘違いをされているようですが，
運動方程式というのは，ものの運動（場所の変化，移動）と働く外力の関係を定めたものの総称です。
F=maはニュートンの運動方程式で，加速度と力は質量m
を比例定数として比例するというニュートンの第3法則を定式化したものです。

お礼

迅速な回答ありがとうございます。
勘違いしてました・・・　初歩的ですみません。
あと、正方向を変えた事によって、
運動方程式の式の正負が違ってくるのですが大丈夫なのでしょうか？？