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運動方程式
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- matelin
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#4の補足をします。 gを方向も含めた重力加速度とすると、運動方程式の形は、次のように変わります。 gを方向も含めた重力加速度とするとは、g=(鉛直下向きに9.8m/s^2) とするということです。 このとき、物体に働く重力は、方向をも含めて、mg となります。 物体の加速度は、#4に説明したように、方向をも含めて、(d^2x/dt^2) であります。 X軸の正の方向を鉛直下向きにとった場合、 運動方程式 F=ma において、 F=mg 、a=(d^2x/dt^2) を代入することになるので、その結果は、 mg = m(d^2x/dt^2) ……(あ) X軸の正の方向を鉛直上向きにとった場合、 運動方程式 F=ma において、 F=mg 、a=(d^2x/dt^2) を代入することになるので、その結果は、 mg = m(d^2x/dt^2) ……(い) この場合には、X軸の正の方向を上にとっても、下にとっても、 物体の運動方程式は同じものになります。 その運動方程式の解は x=1/2*g*t^2+Vt+A ……(う) です。ここで、VとAは積分定数であり、その物理的意味は初速度と初めの位置です。 X軸の正の方向を鉛直下向きにとった場合、 (う)において、g=(鉛直下向きに9.8m/s^2) =9.8 m/s^2 になります。 X軸の正の方向を鉛直上向きにとった場合、 (う)において、g=(鉛直下向きに9.8m/s^2) =-9.8 m/s^2 になります。
- matelin
- ベストアンサー率64% (20/31)
こんばんは。 あなたの質問に答えるには、次のややこしい状況を理解しておく必要があります。 少し長くなりますが、最後までお付き合いください。 速度や加速度や力などの、方向を持っている物理量を、代数記号で表す場合、 (1)その代数記号が表すものに向きを含めるか、(2)含めないかの、2つの立場があります。 そのことを説明するために、簡単な例として、x軸上を負の方向に 6m/s で走っている物体の速度をとりましょう。 (1)の立場では、その物体の速度を、向きも含めて v とします。この時 v =-6 です。 (2)の立場では、物体の速さを v とします。この時 v=6 です。 そして、物体の速度は -v である、とするわけです。 質問者さんの質問に答えるには、まず初めに質問者さんが取り上げている運動方程式に出ている、各物理量を表す代数記号は、上記の(1)と(2)の、どちらの立場を採っているのかを、明確にしておく必要があります。 mは質量であり、方向を持ちませんから、問題になりません。 gは重力加速度です。重力加速度は常に鉛直下向きであるという方向を持ちます。質問者さんが書いている式中の g は、(2)の立場に立ったものですね。すなわち、重力加速度の大きさだけを、g としているわけであり、g=9.8m/s^2 です。この時、 mg は物体が受ける重力の大きさであり、それには方向は含まれません。なので、F=ma のFに重力を代入するとき、方向を考えて、ある場合には +mg を、また別のある場合には -mg を代入するというように、場合に応じて+やーを付ける必要があります。 さて、最後に、xはどうでしょうか。これは物体の位置を表す代数記号です。そして、それには方向も含まれています。なぜなら、x=3なら、原点から正の方向に3m離れた位置にあることになり、また x=-4なら、原点から負の方向に4m離れた位置にあることになる、と私たちは考えるわけですから、このxは+-の方向を含む量であることになります。これは(1)の立場です。まず、そのことを確認してください。 次にxの微分(時間についての微分)についてはどうなるでしょうか。xの時間微分は速度を表しますが、これには自動的に方向も含まれることになります。これは、微分の対象になるxに方向が含まれているからです。 さらにxの2階微分(時間についての2階微分)についても、同じことが言えます。xの時間についての2階微分は加速度を表しますが、これにも自動的に方向が含まれます。 結論として、(d^2x/dt^2) は、方向も含めた加速度を表すことになります。 そこで、運動方程式 F=ma の 加速度a に (d^2x/dt^2) を代入するときには、それに+や-を付ける必要は無いことになります。なぜなら、 (d^2x/dt^2) の中にすでに方向が入っているからです。 X軸の正の方向を鉛直下向きにとった場合、 運動方程式 F=ma において、 F=+mg 、a=(d^2x/dt^2) を代入することになるので、その結果は、 +mg = m(d^2x/dt^2) X軸の正の方向を鉛直上向きにとった場合、 運動方程式 F=ma において、 F=-mg 、a=(d^2x/dt^2) を代入することになるので、その結果は、 -mg = m(d^2x/dt^2) です。
- thetas
- ベストアンサー率48% (27/56)
蛇足ながら、No.1さんの回答の続きとして、 (1)のときは、a=-g(つまり、上向きに-g) (2)のときは、a=+g(つまり、下向きに+g) ということで、同じ結果が得られます。
式を展開してx^2の項を出してみて下さいxが負でも正でも式の形は変わりません。 ですから二番目の式が正しいことになります。
- ruim
- ベストアンサー率12% (1/8)
とりあえず(d^2x/dt^2)はややこしくなるので (d^2x/dt^2)= a と書きますね。 まず運動方程式の基本の形は f = ma です。そしてx軸をとる向きによって、下向きに重力は働くから (1)上向きにとるならf=-mg (2)下向きにとるならf= mg となります。そして質問の式の形のようにすると(全部左辺に以降すると) f = ma ⇒ f -ma=0 となります。ここでさっきのfを代入すれば (1)-mg -ma=0 (2) mg -ma=0 のようにmgの符号は変わりますがmaの符号はそのままとなります。
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