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微分方程式の解の一意性について
- 変数定数分離型の微分方程式では、最後に得られるyとxの関係性が重要です。
- 式 ∫ 1／g（y)dy＝∫f（x)dx が成り立つことが必要です。
- g（y0)＝0 の場合の証明は、具体的な例によって説明されます。
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g(y0)=0 となる場合の y'=f(x)g(y) の 解は y=y0という定数関数になり 微分方程式の解の一意性が成り立つという コーシー・リプシッツの 定理から (x,y0)を通る解は y=y0 しかない と その動画では いっているだけなのです その動画では [コーシー・リプシッツの定理]は 「証明しません」といって 証明していないのです
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- muturajcp
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g(y0)=0 となる場合の y'=f(x)g(y) の 解は y=y0という定数関数になるのです ↓両辺を微分すると y'=0 y=y0を f(x)g(y)に代入すると g(y0)=0 f(x)g(y)=f(x)g(y0)=0 だから y'=0=f(x)g(y0)=f(x)g(y) だから g(y0)=0となる場合 y=y0 は y'=f(x)g(y) の解になるのはわかりますか?
- muturajcp
- ベストアンサー率77% (510/657)
問1)微分方程式y'=2xの一般解を求めよ の答えは y=x^2＋C（Cは任意定数)で合っています 問2)微分方程式y'=2xを初期条件y(0)=0のもとで解け の答えは y=x^2で合っています 問3)微分方程式y'=2xを初期条件y(0)=1のもとで解け の答えは y=x^2+1で合っています y'=2x の場合 初期条件 y(0)=C だから C を定めれば解は一意に定まる C1≠C2 ならば 解曲線y=x^2+C1 と 解曲線y=x^2+C2 は 交わらないから 初期条件を定めれば解は一意に定まるという 微分方程式の解の一意性が成り立っています 初期条件を定めれば解は一意に定まるという 微分方程式の解の一意性が成り立つという定理は コーシー・リプシッツの定理といいます その動画ではこの定理は 「証明しません」といって 証明していないのです
補足
13:00ぐらいの所で、g（y0)＝0 となる場合の証明が分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。
- muturajcp
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y'=f(x)g(y) dy/dx=f(x)g(y) g(y)≠0のとき {1/g(y)}(dy/dx)=f(x) ∫{1/g(y)}(dy/dx)dx=∫f(x)dx だから ∫{1/g(y)}dy=∫f(x)dx になるのです yとxの関係性がわかれば良いから ∫{1/g(y)}dy=∫f(x)dx になるのではありません 例) 微分方程式を dy/dx=2xy とすると y=0の時y=0 y≠0の時 (1/y)(dy/dx)=2x ∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2xdx だから ∫(1/y)dy=∫2xdx になるのです log|y|=x^2+c y=Ce^(x^2) yとxの関係性は y=Ce^(x^2) になるのです ----------------- y'=f(x)g(y) で 初期条件 g(y0)=0 となる場合の解は y=y0 とすると y'=0 g(y0)=0 だから y'=0=f(x)g(y0)=f(x)g(y) だから y=y0 は y'=f(x)g(y) の 解になるのです 初期条件 g(y1)≠0 となる場合の解 ∫{1/g(y)}dy=∫f(x)dx と 初期条件 g(y0)=0 となる場合の解は その動画では 初期条件を定めれば解は一意に定まるという 微分方程式の解の一意性から 重ならないといっているだけで 初期条件を定めれば解は一意に定まるという 微分方程式の解の一意性 を 証明しているわけではありません 初期条件を定めれば解は一意に定まるという 微分方程式の解の一意性は 具体的な微分方程式を解いてみればわかるのです 例) 微分方程式を dy/dx=2xy とすると y=0の時y=0 y≠0の時 (1/y)(dy/dx)=2x ∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2xdx ∫(1/y)dy=∫2xdx log|y|=x^2+c y=Ce^(x^2) 一般解は y=Ce^(x^2) 初期条件を y(0)=1 とすると y(0)=C=1 だから y=e^(x^2) 初期条件を y(0)=0 とすると y(0)=C=0 だから y=0 初期条件y(0)=1の時の解曲線y=e^(x^2) と 初期条件y(0)=0の時の解曲線y=0 は e^(x^2)>0 だから 交わらない
- muturajcp
- ベストアンサー率77% (510/657)
微分方程式とは何か 微分方程式を解くとはどういう事か わかっていないようなので 変数分離型より もっと簡単な微分方程式から始めましょう 次の問題は解けますか? 問1) 微分方程式 y'=2x の一般解を求めよ 問2) 微分方程式 y'=2x を 初期条件y(0)=0のもとで解け 問3) 微分方程式 y'=2x を 初期条件y(0)=1のもとで解け
補足
問1) 微分方程式 y'=2x の一般解を求めよ は、y＝x∧ 2＋C（Cは任意定数)ですか？ 問2) 微分方程式 y'=2x を 初期条件y(0)=0のもとで解け は、y＝x∧ 2＋C（Cは任意定数) で、初期条件を代入すると、C＝0 で、y＝x∧ 2 問3) 微分方程式 y'=2x を 初期条件y(0)=1のもとで解け y＝x∧ 2＋C（Cは任意定数) 初期条件を代入すると、C＝ 1 y＝x∧ 2＋ 1です。 これで合っていますでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。
- musume12
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> 変数定数分離型 初めて聞いた言葉wwwwwww 微分方程式の解の存在と一意性をきちんと証明することはなかなかハードなので、高校数学レベルも怪しい質問者は素直に了解すればよい（笑）。 動画は見てないけど、そんな難しいことより、最も簡単な 「変数分離型」の方程式 dy/dx = ay を解くとき、dx を右に、y を左に移項して (1/y)dy = adx と変形し、両辺に∫を付加すると ∫(1/y)dy = ∫adx となり、この積分を解くと確かに微分方程式の一般解を求めることができるが、こんな一見安直な変形がなぜ許されるのかを理解するところからスタートした方がいいぞ。 健闘を祈る。
- f272
- ベストアンサー率46% (8623/18441)
普通の人は，わからなければ考えるのですけれど，あなたの場合はわからなければ何も考えずに質問サイトに投稿する。 これではいつまでたっても，同じことの繰り返しです。何を言われても考えようとしないのだから，回答をもらっても後に残りません。
補足
はい。分かります。で、それが何かあるのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。