微分方程式

質問

参考書の解説一部抜粋
dy/dt=mx-ny (m,nは定数) にx=ze^(-mt)を代入し積分すれば、
y=z{m/(m-n)}{e^(-nt)-e^(-mt)}

わかりません。おそらく、変数分離を用いたと思いますが詳しい途中式をお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

dy/dt=mx-ny (m,nは定数)
x=ze^(-mt)を代入
dy/dt+ny=mze^(-mt)
この解は
dy/dt+ny=0
の一般解y1=ce^(-nt)　（cは任意定数）
に
dy/dt+ny=mze^(-mt)
の特殊解y2を加えたものである。
y2=ae^(-mt)とおく上の式に代入すると
(an-am)e^(-mt)=mze^(-mt)
a(n-m)=mz
a=mz/(n-m)
y2={mz/(n-m)}e^(-mt)
したがって元の微分方程式の解は
y=y1+y2=ce^(-nt)+{mz/(n-m)}e^(-mt)
となる。

初期条件が与えられてないので、任意定数cが決まりません、
問題に初期条件が与えられていないので
任意手数のcが消えません。
初期条件が与えられないと
>y=z{m/(m-n)}{e^(-nt)-e^(-mt)}
と言った解はは出てきません。

t=0のときのyの値の書き忘れてませんか？
補足してください。

お礼

t=0のとき、y＝0です。すみません。書き忘れてました。

回答No.3

info222_

No.2です。

ANo.2の補足コメントでお書きの初期値を適用すると

>>y=y1+y2=ce^(-nt)+{mz/(n-m)}e^(-mt) ... (A)

>>初期条件が与えられてないので、任意定数cが決まりません、
>t=0のときy=0
を適用して
y=c+{mz/(n-m)}=0 ⇒ c=mz/(m-n)

(A)に代入すれば
y=mz/(m-n)e^(-nt)+{mz/(n-m)}e^(-mt)
>y=z{m/(m-n)}{e^(-nt)-e^(-mt)}
と答が出てきます。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

bran111

dy/dt=mx-ny
x=ze^(-mt)
両式を使って
dy/dt+ny=mze^(-mt) (1)
1階線形非斉次微分方程式
dy/dt+f(t)y=g(t)
は一般解が求められており
F(t)=∫f(t)dtとすると
y=[∫g(t)e^F(t)dt+C]e^(-F(t)) (2)
(1)より
f(t)=n, g(t)=mze^(-mt)
F(t)=nt
(2)に代入して
y=[∫mze^(-mt)e^ntdt+C]e^(-nt)
=[∫mze^(n-m)tdt+C]e^(-nt)
={[mz/(n-m)]e^(n-m)t+C}e^(-nt)
=[mz/(n-m)]e^(-mt)+Ce^(-nt)
=[mz/(n-m)][e^(-mt)+C(n-m)/mz・e^(-nt)]
=[mz/(m-n)][-e^(-mt)-C(n-m)/mz・e^(-nt)]

初期条件として

C=mz/(m-n)

が与えられているとき

y=[mz/(m-n)][e^(-nt)-e^(-mt)]

お礼

詳しい解説ありがとうございます。