逐次壊変の微分方程式が解けないです。

質問

タイトルの通りなんですけど、逐次壊変の微分方程式の解き方が全くわからないです…。

親核種1→(壊変定数:λ1)→娘核種2→(壊変定数:λ2)→孫娘核種3

という壊変系列をとる核種があるとする。いまt=0における核種1,2の全原子数をそれぞれN01,N02、それからt時間経過した時刻での核種1,2の残存原子数をそれぞれN1,N2、核種1,2の壊変定数をそれぞれλ1,λ2としたとき次の式が成り立つ。

dN2/dt=λ1N1-λ2N2

この式を積分すると

N2=λ1N01{e^(-λ1t)-e^(-λ2t)}/(λ2-λ1)+N02e^(-λ2t)

となるみたいなんですけど、解き方がわからないです。
とりあえず ∫f(N2)dN2=∫g(N1)dt (g(N1)はN2を含まない関数) という形に持っていけば解けると思って式変形しようと思うのですがこの形に持っていけないため解けないです。
式が見にくくてすいません。紙などに書いていただけるとありがたいです。
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

tyty7122 · ベストアンサー

ヒントを。

時間tの関数Xを下記の様に定義してみると良い。

N2 = X(e^(-λ2t))　・・・（１）

これをtで微分した式（dN2/dt = ）を（２）としよう。

式（１）（２）を

dN2/dt=λ1N01e^(-λ1t)-λ2N2

に代入して整理すると、、、

お礼

まだわからないです…。こんなに教えてもらってるのにすいません…。

とりあえず、N2をtyty7122さんの様に置いて微分してみました。すると

dN2/dt=-λ2 X(e^(-λ2t))

となり、これを代入すると

-λ2Ｘ(e^(-λ2t))=λ1N01e^(-λ1t)-λ2 X(e^(-λ2t))

となって、整理すると

λ1N01e^(-λ1t)=0

となってしまい、 dN2/dt=-λ2N2 で目的の式が出てこないです…。
たぶん微分が上手くいってないと思い、今度は N2= X(T), T=e^(-λ2t) として合成関数の考え方を使ってみました。この考え方で微分をすると

dN2/dt=dX/dT・(-λ2)T

となり、これを同じように代入すると

dX/dT・(-λ2)T=λ1N01e^(-λ1t)-λ2 X(T)

となりました。でもここでつまってしまい、この先がわからないです…。
何度も何度もすいません…。微分方程式はいまいちわからないもんで、またヒントください。

回答No.6

tyty7122

＞最後に１つだけ聞きたいんですけど、なんで N2=X(e^(-λ2t)) と置くと上手くいく、という考えが出てきたのですか？？

結論から言うと、試行錯誤の結果である。

ただ、この手の問題では、「e^(-at);但しaは定数」の項が非常に重要な鍵を握るケースが多い。例えば、N1を表す式でも、e^(-λ1t)の項が含まれている。このことから、N2もe^(-λ2t)を含む関数で表すことができるのではないか、と類推することが出来る。

で、今回の場合には、

N2 = X(e^(-λ2t))

すなわち、N2をe^(-λ2t)と時間の関数Xとの合成関数と仮定し、式を変形して検証した結果、上手くいくことがわかったわけである。

なお、今回の核壊変の式は、そっくりそのまま反応速度論の逐次反応に転用することが出来る。さらに言えば、N2の極大値からλ1とλ2の比を決定できたりする。すなわち、λ1が分かっておりN2の極大値も明らかになれば、λ2を求められるのである。

というように、記憶の隅にとどめておくと、後で結構使えるパターンの式である。

お礼

長々とお付き合いいただき本当にありがとうございました。
本当に感謝してます。

回答No.5

tyty7122

＞となり両辺を積分すると

＞X/λ1N01=e^(-λ1t+λ2t)/(-λ1+λ2)

ここで積分定数をつけるのを忘れている。計算間違いを防ぐため、面倒でも積分したときに積分定数項をつける習慣をつけるべきである。

X = {λ1N01/(-λ1+λ2)・e^(-λ1t+λ2t)} + Const.

これを

N2 = X(e^(-λ2t))　・・・（１）

に代入すると、指数には積分定数Const.は含まれない。すなわち、貴方が整理した結果の

＞N2=λ1N01e^(-λ1t+C)/(λ2-λ1) (Cは積分定数)

が間違っている。積分定数を間違った形で付け足したのが原因である。

計算しなおしていただきたい。

お礼

長々とお付き合いしていただきありがとうございました。ようやく答えが出ました。

dX/λ1N01=e^(-λ1t+λ2t)dt を積分して N2=X(e^(-λ2t)) を代入し整理すると

N2=λ1N01e^(-λ1t)/(λ2-λ1)+C・e^(-λ2t)　（Cは積分定数）

となり初期条件 t=0 のとき N2=N02 を代入すると

C=N02-λ1N01/(λ2-λ1)

となりこれを N2 の式に代入して整理すると

N2=λ1N01(e^(-λ1t)-e^(-λ2t))/(λ2-λ1)+N02e^(-λ2t)

となりちゃんと出ました。tyty7122さん、どうもありがとうございました。

最後に１つだけ聞きたいんですけど、なんで N2=X(e^(-λ2t)) と置くと上手くいく、という考えが出てきたのですか？？

回答No.4

tom11

こんにちは、
連立常微分方程式の解法で
調べると、類似のものが、ヒットするみたいですよ。

http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/cemath/cemath08.html

参考になるかどうかは、解りませんが

お礼

このやりかただと出ました。
このような微分方程式を連立常微分方程式というんですね。
初めて知りました。
tom11さんどうもありがとうございました。

回答No.3

tyty7122

間違っている部分をお教えしよう。

＞微分してみました。すると

＞dN2/dt=-λ2 X(e^(-λ2t))

＞となり、

ここが間違っている。Ｘは時間ｔの関数であることをお忘れなく。微分の基本に戻って考えてみよう。もしかしたら、合成関数の微分については、まだ学習しておられないかな？

一般に、

F(t) = f(t)g(t)

を微分すると、

F´(t) = f´(t)g(t) + f(t)g´(t)

になる。貴方が挙げた二つの計算は、

F´(t) = f´(t)g(t)

および

F´(t) = f(t)g´(t)

であり、ともに間違っている。

お礼

あと少しで出そうな気がするのですが、ツメが甘いようで何度もお世話になります…。

N2=X(e^(-λ2t))

を合成関数の考えを使って微分して

dN2/dt=dX/dt・(e^(-λ2t))-λ2X(e^(-λ2t))

となり dN2/dt=λ1N01(e^(-λ1t))-λ2N2 にそれぞれ代入すると

dX/dt・(e^(-λ2t))-λ2X(e^(-λ2t))=λ1N01(e^(-λ1t))-λ2X(e^(-λ2t))

整理すると

dX/λ1N01=e^(-λ1t+λ2t)dt

となり両辺を積分すると

X/λ1N01=e^(-λ1t+λ2t)/(-λ1+λ2)

これを整理して

N2=λ1N01e^(-λ1t+C)/(λ2-λ1) (Cは積分定数)

t=0のときN2=N02より

e^C=(λ2-λ1)N02/λ1N01

となりこれをN2の式に代入すると

N2=λ1N01e^(-λ1t)/(λ2-λ1)+N02

となってしまい最初の項は答えの形になってきてるのですが、他が出てこなくて困ってしまいました…。
すいませんが、また教えてください。

回答No.1

tyty7122

＞とりあえず ∫f(N2)dN2=∫g(N1)dt (g(N1)はN2を含まない関数) という形に持っていけば解けると思って

いや、それは難しいだろう。dN2/dtの形なのだから、N2とtを含み、N1を含まない形に誘導して解けばよい。

単純に

dN1/dt=-λ1N1

を解いてN1をtの関数であらわし、それを

dN2/dt=λ1N1-λ2N2

に代入すればよい。

そこから先は、色々な解きかたがあるが、まずはここまで。

お礼

dN1/dt=-λ1N1 を解いたところ N1=N01e^(-λ1t) と出ました。これを dN2/dt=λ1N1-λ2N2 に代入すると

dN2/dt=λ1N01e^(-λ1t)-λ2N2

となりました。これで、N2とtを含み、N1を含まない形ができたのですが、 dN1/dt=-λ1N1 をといた時と同じように式を整理しようにも上手いこといきません…。
他にどのようなやりかたがあるのでしょうか？