指数増殖の微分方程式・・・？

質問

個体数を時間tの関数と考えると，その増加速度dx/dtが現在の集団サイズx(t)に比例することは次式によって表される．
dx/dt=mx　(1.1)
ここで比例定数mは1個体当たりの増加率である．
(1.1)のようにxの時間変化を示した式である微分方程式を満たす解が
x(t)=x(0)e^(mt)　(1.2)
であることは，(1.1)式の両辺に直接代入して確かめることができる．

ってことなんですが，どのようにしたら(1.2)が導かれるのかと，代入したらどうなるのでしょうか？
久しく数式などに触れていなかったせいか，よくわかりませんでした．
御指導のほど宜しくお願いします．
やさしくお願いします．

回答No.1

sanori · ベストアンサー

１．１を変形して

dx/x = m・dt

1/x を積分すると log|x|+c なので

ln|x| + c = mt
→ ln|x| = mt - c
→ x = e^(mt-c) = C・e^(mt)
　（ただし、ここで、e^(-c)=Cとした）

t=0 のとき x=C なので、C=x(0) と書き換えれば

x(t) = x(0)・e^(mt)

この形は、物理学で極めてよく出てくる、微分方程式の基本形です。
もう忘れないで！（笑）

お礼

ありがとうございました．
ここに出てくる計算のレベルは高校ですかね？今後こちら方面をちょっと勉強していこうかと考えてるんですが，何か良い本をご存知でしたら紹介して頂けないでしょうか．

回答No.4

sanori

ご要望にお応えして再登場です。

高校程度の数学を調べれば、今回の問題については、実用上十分だと思います。

対数関数の微分（導関数）がｘ分の１になるについては、私が高校時代に、たしか「数学IIIＢ」という科目で習いました。
逆にｘ分の１の積分がlog|x|になることも習ったはず。

学習指導要領を今、確認してみました。

（数学IIIの項から２行抜粋）
ア 導関数
（ウ） 三角関数・指数関数・対数関数の導関数

あと、定積分も数学IIと数学IIIで習うようです。

それから、
dx/dt=mx　(1.1)
を、あたかも、ふつうの掛け算・割り算のごとく
dx/x = m・dt
に変形することにより、ｘが付くものを全て左へ、ｔが付くものを全て右へ、というふうに整理し、
さらには、
両側を積分するとき、左はｘについての積分、右はｔについての積分をそれぞれやっていい、
という法則みたいのは、もしかしたら「微分方程式」の初歩の考え方を学ばなければ、理由や意味がわからないかもしれませんが、これぐらいの問題ですと、今回のような操作だけ覚えておくことで十分です。

というわけで、対数関数の導関数について、数学IIIの教科書か、参考書を書店で立ち読みするか、あるいは、その辺の基礎的なことを簡単に解説した本を図書館でちょちょっとみるぐらいで大丈夫だと思います。

＜追伸＞
前回の回答中、うっかり「log」の表記と「ln」の表記をごちゃ混ぜにして書いてしまいましたが、数学専門の人は「log」、数学以外の理科系や工学の人は「ln」と書くと思っていればいいです。
数学の表記とそれ以外での分野での表記の違いは、これに限らず、ままあることだと思います。
（何故かというと、数学では底の表示を省略して単にlogと書けば、底はｅである自然対数のことを表わすというルールがありますが、実用上１０を底とする対数関数を多用する局面がありまして、そういった一部の人達は単に「log」と書けば１０を底とした対数関数という決まりを作ってしまいました。そこで、それと紛らわしくならないように、ｅを底とする自然対数の頭文字ｎを付加して、２文字だけに縮めて「ln」という表記をします。歴史的に本当がどちらかどうかは知りませんが。）

＜おまけ＞
この問題でｍがマイナスであれば、増加（増殖）ではなく、減少（減衰）になります。
「ｍ＝マイナスの値」が何の現象を示すかといいますと、放射性物質が放射能を出しながら減少していく現象、電気がたまった電極にアース線をつないだ瞬間からの電圧の下がり方、薄手の洗濯物を干したときの乾き方の大体の説明・・・色々と世の中の説明をするのに役立ちます。

以上、乱筆失礼。

お礼

ほんと丁寧にありがとうございました．
微分積分をちょっと復習したらなんとな～く感覚がよみがえってきたような気がします．
使わないと忘れてしまいますね．
また質問をみかけたらよろしくお願いします．

回答No.3

gatahi

正確な解答はほかの方がしてくれているので、感覚的なやつを。
これは、増加「率」が一定の場合、時間当たりの増加「量」は元の集団の大きさに比例するということを式を使って表したものですな。

お礼

ありがとうございました．
その通りですね．

回答No.2

KENZOU

sanorさんが詳しく書かれていますので、以下は補足の蛇足です。
＞代入したらどうなるのでしょうか？
x(t)=x(0)e^(mt)をdx/dt=mxに代入すると
　dx/dt＝(d/dt){x(0)e^(mt)}　(1)
　　　　＝(dx(0)/dt)e^(mt)+x(0)de^(mt)/dt　(2)
　　　　＝mx(0)e^(mt)　(3)
　　　　＝mx(t)　(4)
ということで(1.1)式がでてきます。
(P.S)　
(1)→(2)：被微分関数はx(0)とe^(mt)の積の形をしていますね。このような場合にはそれぞれをtで微分することになります。
(2)→(3)：x(0)はt=0での値、つまり定数ですからtで微分すると０になります。
(3)→(4)：指数関数の微分は姿を変えない。つまり公式
　　(d/dt)e^t＝e^t　　
　　(d/dt)e^(mt)＝me^(mt)

お礼

ご丁寧にありがとうございました．
なんとか理解できました．
また何かありましたら宜しくお願い致します．