三角関数と複素数について

質問

三角関数 sin(Θ),cos(Θ) ですが、そのΘに複素数とすることは可能でしょうか。定義されているでしょうか。また高校数学でおなじみのsin(A+B), cos(A+B)についてsin(A+iB), cos(A+iB)などの展開も可能なのでしょうか。
三角関数は直角三角形の斜辺に対する底面等の長さの比と定義されてきたので実数のみのように思いますが、級数展開して多項式にすると、複素数を代入することは可能のようにも見えます。三角関数の定義と複素数の関係はどうなっているのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.4

gamma1854

三角関数の定義については、特に変わるところはないと思います。
他のことの定義についてはわかりませんが、数学の辞典などを参照してください。

回答No.3

gamma1854

もちろん、複素関数としての定義です。
まず指数関数 f(z)=exp(z)を、Re(f(z)=e^x*cos(y), Im(f(z)=e^x*sin(y).
で定義し、この合成関数として、三角関数を定義します。
このとき、
cos(z)=cos(x+i*y) = cos(x)*cosh(y) - i*sin(x)*sinh(y).
sin(z) = sin(x)*cosh(y) + i*cos(x)*sinh(y).
となります。y=0であれば、実関数としての三角関数です。

補足

回答ありがとうございます。学生の頃にこうだ、と思っていた定義が実は違っていた、あるいは狭義であった（今回は実数限定だと思っていた）ということがあるとしたら、定義の決定版はどこで学ぶべきでしょうか。あるいはさらに何か発見されたことがきっかけでさらに定義が進化するということがあるのでしょうか。今回、ずっと思っていたの違うため、定義が変更を受けたという風にも見えてしまうのですが。e^iθ=cosθ+isinθということですから、複素数とは無関係とも思っていなかったのですが、この式においてもθが複素数というのはあまり想定していないのではないかと思うのですが。

回答No.2

gamma1854

もちろん可能です。(実はe^zが先です))
cos(z)={e^(iz)+e^(-iz)}/2, sin(z)={e^(iz) - e^(-iz)}/(2i)...(*)
がその定義です。(z : 任意の複素数)
ｚは「角度」などというものではなく、他の初等関数と同様に普通の独立変数です。
(*)において、Im(z)=0 であるときが実関数の三角関数です。

お礼

回答ありがとうございます。高校のときに習った三角関数は定義と思い込んだらダメ、ということなのでしょうか。あるいは狭義・広義の定義として使い分けていくのでしょうか。
いくつか定義があるけれども等価という場合もありますね。高校数学はいったん忘れるべきということでしょうか？あるいは”高校数学では定義とは言っていない”ということなのでしょうか。

回答No.1

178-tall

>三角関数の定義と複素数の関係はどうなっているのでしょうか。

まずは、参考 URL でもご覧ください。
　　↓　複素数によるつながり

参考URL：

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/hyper1/node7.html