ベストアンサー ※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:三角関数) 三角関数の最大値を求める方法は? 2009/07/31 11:50 このQ&Aのポイント 三角関数の最大値を求める方法について説明します。三角関数の合成を行うことで、最大値を求めることができます。具体的には、2θ+π/6=π/2=θ=π/6のときに最大値となります。 三角関数 ABCと長方形PQRCを考える。ただし、点Aは辺PQ上(頂点を除く)にあり、点Bは辺QR上(頂点を除く)にあるものとし、∠BAQ=θ(0<θ<π/3)とする。 AQ=cosθ AP=√3sinθ CP=√3cosθ 長方形の面積をSとすると。 S=3/2sin2θ+√(3)/2cos2θ+√(3)/2 さらに三角関数の合成を行うと S=√3sin(2θ+π/6)+√(3)/2と変形できる。 0<θ<π/3のとき π/6<2θ+π/6<5π/6だから 2θ+π/6=π/2=θ=π/6 のとき最大値 S=√3・sinπ/2+√3/2 =√3+√3/2 =(3√3)/2 なぜ 2θ+π/6=π/2=θ=π/6 のとき最大値と分かるのでしょうか。 画像を拡大する 質問の原文を閉じる 質問の原文を表示する みんなの回答 (1) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2009/07/31 12:42 回答No.1 関数 y=sin x のグラフを頭に思い描け. 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 図形と三角関数の問題 三角形ABCはAB=AC=1を満たす二等辺三角形である。さらに、正方形PQRSは辺PQが辺BC上にあり、頂点R、Sがそれぞれ辺AC、AB上にある。 (1)∠B=θとする。正方形PQRSの一辺の長さをθを用いて表せ。 (2)正方形PQRSの一辺の長さが最大になるような辺BCの長さを求めよ。 自分なりに解いてみて、 (1)はBS=xとして、 BC=xcosθ+xsinθ+xcosθ=2cosθ を解いてxを求め、それから xsinθ(一辺の長さ)=sin2θ/2cosθ+sinθ となったのですが、答えは合ってるでしょうか? または、答えの出し方におかしな点はありませんか? また(2)は(1)の答えの最大値を求め、そこからθを求め、BC=2cosθに代入しようとしたのですが、 (1)の増減表使おうとしたり、式の整理をしようとしたのですが、うまくまとめられませんでした。 (2)の解答及び解き方もお願いしたいです。 三角関数 単位円周上の3点 P(cosθ、sinθ) Q(cos2θ、sin2θ) R(cos4θ、sin4θ) を考える。0≦θ≦2πとするとき、 PQ^2+QR^2がとる値の範囲を求めよ この問題に手も足も出ません・・・ まずPQ^2とQR^2をそれぞれ計算することから始めたのですがごちゃごちゃになって途中でわからなくなってしまいました。 倍角の公式を使ったりいろいろ試してみたんですがやはりわかりません。 よろしくおねがいいたします 二次関数の問題です! AB=10、BC=8の長方形のABCDの辺BC、CD上に、EC=5、CF=4となるようにそれぞれ点E、Fをとる。線分EFの一点Qから辺ABに下ろした垂線をQP、また辺ADに下ろした垂線をQRとする。点QがEF上を動くとき、長方形APQRの面積Sは、AP=?のとき最大となり、Sの最大値は?である。 AP=?とSの最大値?を求めよ。 答)AP=5分の31 Sの最大値20分の961 解説をなくしてしまったので解き方を詳しく教えてください よろしくお願いします。 <三角関数>単位円の周上に点を取る問題 「単位円周上の3点 P(cosθ、sinθ)、Q(cos2θ、sin2θ)、R(cos4θ、sin4θ)を考えるとする。 θが0°から360°まで動くとき、PQ^2+QR^2がとる値の範囲を求めよ。」 この問題は図示したあと、PQ^2とQR^2は2点間の距離の公式を使えるのでしょうか? また、sin4θやcos4θなどは、どのように変形していったらよいのでしょうか? 教えていただけませんでしょうか? 二次関数の最大・最小 下の文章題がさっぱりわかりません。 とりあえず、長方形の一辺を文字で置いて試行錯誤してみたのですが、できなかったです。 教えてください。 ちなみに、二次関数の最大・最小の単元なので、それを使うかと思います。 問題:一辺の長さ5/3(3分の5)の正三角形ABCがある。またPをAB上に、QRをBC上に、SをAC上にとる長方形PQRSが正三角形ABCに内接している。長方形PQRSの面積の最大値を求めよ という問題です。 PQ = x とおくと BQ = PQ*tan30° = x*tan30° = x/√3 ここからQR = 5/3 - 2*x/√3 ここまでは出来ましたがここからがわかりません。 お願いします。 数学I 関数 三角形に内接する四角形の面積の最大を求める 一辺の長さが2の正三角形ABCがある。 長方形PQRSを、頂点Pが辺AB上に、 辺QRが辺BCに、頂点Sが辺AC上にくるように 三角形ABCに内接させる。 このとき、長方形PQRSの面積の最大値を求めよ。 という問題について、答えが導けません。 どうか解法の手順を教えてください!!! 三角関数 (1) 0≦θ<2πのとき、関数y=cos^2θ+2sinθの最大値と最小値とθについて。 y=cos^2θ+2sinθ =(1-sin^2θ)+2sinθ =-sin^2θ+2sinθ+1 =-s^2+2s+1 =-(s^2-2s)+1 =-(s-1)^2+2 (-1≦s≦1) (2) 0≦θ<2πのとき、関数y=8cos^2θ-8sin^2θ+1の最大値と最小値とθについて。 y=8(-sin^2θ+1)-8sin^2θ+1 =-8sin^2+8-8sin^2θ+1 =-16sin^2+9 =-(16sin^2-9) (3) 0≦θ<2πのとき、関数y=2sin^2θ+2cosθ+4の最大値と最小値とθについて。 2sin^2θ+2cos^2θ=2 2sin^2θ=2-2cos^2θ y=2-2cos^2θ+2cosθ+4 =-cos^2θ+2cosθ+6 (1)(2)(3)途中まであっていますか? (1)(2)(3)のやり方を教えて下さい。。。 三角関数の合成 三角関数の合成 π/6≦θ≦5/6πのとき、sin{2θ-(π/6)}-cos2θ の最大値と最小値を求めよと言う問題があります。 この式が √3/2 sin2θ-3/2 cos2θ という式になるのはわかりました。でもここからどのようにして合成するのでしょうか? 三角関数の合成の式が√(a^2+b^2) sin(θ+α) なので√3 sin(2θ+α) になるのはわかるのですがどうやってαの部分を出すのかわかりません… 図を書いて求めようとしたのですがさっぱりで… どなたか教えてください。よろしくお願いしますm(__)m 2次関数の文章題教えて下さい。 AB=AC=5cm、BC=6cmの二等辺三角形ABCがある。この二等辺三角形ABCの辺AB,AC上のそれぞれに点P、QをBC//PQとなるようにとり、PおよびQのそれぞれからBCに垂線PD、QEをひいて二等辺三角形ABCに内接する長方形PDEQを作るとき次の各質問に答えなさい。 (1)長方形PDEQが正方形であるとき線分PQの長さはPQ=□である。 (2)長方形PDEQの面積が最大となるような線分PQの長さはPQ= cmである。 とき方を教えて下さい。 教えてください(三角関数) 数学の三角関数で二進も三進も行かないくらいわからない問題があったのでどなたか教えていただけないでしょうか。 (英語から訳したものなので日本語があっていなかったら申しわけありません) 次の式を-180°≦θ≦180°の範囲内で答えなさい。 また、回答は小数点1で答えなさい。 1)4(2+cos^2θ)=sinθ(11+sinθ) 2)2cos^3θ=3sinθcosθ 3)4sinθcosθ(1+sinθ)=11cos^3θ-7cosθ 次の式を0≦θ≦2πの範囲内で答えなさい。 1)4tan^3θ-4tan^2θ+tanθ=0 2)2sinθtanθ=sinθ+cosθ どれか一つでもいいので、わかる方がいらっしゃいましたら(ヒントだけでもいいので)教えていただけませんでしょうか? 三角関数の問題です 三角関数の問題です。0を原点とする座標平面において、2点P、QをP(cosΘ,sinΘ),Q(√3sin2Θ,√3cos2Θ)とする。ただし0<Θ<π/2とする。 sin2Θ=cos(π/2―2Θ),cos2Θ=sin(π/2―2Θ)であるから、3点0、P、Q が同一直線上にあるのはΘ=π/□の時である。 □の求め方がわかりません。どなたか教えてください。宜しくお願いします。 数学 平面ベクトル 解き方を教えてください (1)△ABCにおいて辺BCを2:1に外分する点をP、辺ABを1:3に内分する点をQ 辺CAを3:2に内分する点をRとする。 AB=b AC=cとおいて次のベクトルをb、cを用いて表せ。 (1)AQ、AR、AP、PQ、PR (2)3点P,Q,Rは一直線上にあることを示せ。 (3)QR:RPを求めよ (2)△ABCにおいて、AB=b AC=cとおく。辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。また2つの線分CDとBEの交点をPとし、直線APと辺BCの交点をQとする。 (1)BP:PE=s:(1-s)とするときAPをs、b、cを用いて表せ。またCP:PD=t:(1-t)とするとき、APをt、b、cを用いて表せ。 (2)APをb、cを用いて表せ (3)AQをb、cを用いて表せ 類似したような問題を参考にして解いてみたのですができませんでした。 解法の手順も教えてもらえるとありがたいです。 二次関数の最大・最小 下の文章題がさっぱりわかりません。 とりあえず、長方形の一辺を文字で置いて試行錯誤してみたのですが、できなかったです。 教えてください。 ちなみに、二次関数の最大・最小の単元なので、それを使うかと思います。 問題:一辺の長さ5/3(3分の5)の正三角形ABCがある。またPをAB上に、QRをBC上に、SをAC上にとる長方形PQRSが正三角形ABCに内接している。長方形PQRSの面積の最大値を求めよ という問題です。 おお願いします。 三角関数について 物理のカテゴリではないような気がするのですが、関連があると思い、このカテで書かせてもらいます。 高校の数学で三角関数というのを習いますが、物理をやったことがないので、数学と自然との関連がどうあるのかさっぱりわからず単に答えを導いてるだけの感しか残りません。 三角関数でたとえば y=3sinθcosθ-sinθ-cosθとするyの最大値最小値を求めよ。などと問題がありますが、 一体、このyは社会または自然界の中でどういったものを表わした数値なのか。この長ったらしい式で何が求まるのかまったく想像がつきません。教えて下さい。 三角関数 三角関数の問題について教えていただきたいです途中までは出来ました 1) y=cos2Θ+sinΘ(0≦Θ<2π) でsinΘ=tとすると y=-2t^2+t+1となり、yの最大値は9/8で最小値は-2 2) aを実数とし、Θに関する方程式cos2Θ+sinΘ=a…(1)を考えるただし 0≦Θ<2π (1)が解を二つ持つ時のaの範囲を求めよ 上の問題なんですが何処から手をつけたらよいかわかりません ご教授おねがいします。 三角関数です 原点O(0,0)を中心とする半径1の円上の4点E(1,0), A(cosθ,sinθ), B(cos2θ,sin2θ), C(cos3θ,sin3θ) を考える。ただし、 0<θ≦π/3 とする。 (1)線分AEの長さをcosθ を用いて表せ。 (2)△ABCの面積S1を sinθとcosθを用いて表せ。 (3)△OACの面積S2が △ABCの面積と等しくなるときのθの値を求めよ。 考え方を教えてください!詳しく教えていただけると 嬉しいです。 三角関数 大至急お願いします。数学の問題です Oを原点とする座標平面上に定点A(3,3√3)、動点P(p,q)をとる。 ただし、0≦θ<2πとして、 p=√3cosθ-sinθ q=√3sinθ+cosθ とする。 (1)線分OAの長さは(ア)であり、線分OAとx軸のなす鋭角はπ/(イ)である。 また、 q=(ウ)sin{θ+π/(エ)} と変形でき、同様に p=(ウ)cos{θ+π/(エ)} と変形できる。また、 OP=(オ) である。 (2)線分APの長さが最大になるのは、θ=(カ)/(キ)πのときであり、このとき、線分APの長さは(ク)である。 (3)△OAPが直角三角形になるようなθの値は、全部で(ケ)個ある。 途中式もお願いします 空間ベクトルの問題がよくわかりません。 空間ベクトルの問題です。解答を見てもよくわかりませんでした。どなたか解説をお願いします。 点Oを原点とするxyz空間内の四面体OAPQにおいて、↑OA=(2,0,0)、↑OP=(0,p,0)、↑OQ=(0,0,q)であり、p>0、q>0とする。 ∠PAQ=30°とするとき(1)、(2)の問題に答えなさい。 (1) △APQの面積を求めよ。また|↑OP|のとりうる範囲を求めよ。 (2) 四面体OAPQの体積をVとするとき、Vの最大値を求めよ。 解答 (1) ↑AP=(-2,p,0)、↑AQ=(-2,0,q)だから、 |↑AP|=√(4+p^2)、|↑AQ|=√(4+q^2) また△APQの面積=1/2 × |↑AP||↑AQ|sin30° =1/4 √(4+p^2) √(4+q^2)・・・(1) 一方↑AP・↑AQ=(-2)・(-2)+p・0+0・q =4 より ↑AP・↑AQ=|↑AP||↑AQ|cos30° =√3/2 √(4+p^2) √(4+q^2)=4 よって √(4+p^2) √(4+q^2)=8√3/3 ・・・(2) (1)(2)より、△APQ=2√3/3 また、(2)は(4+p^2)(4+q^2)=64/3 ・・・・(3) p>0、q>0より、4+p^2>4だから、4+p^2<16/3 p^2<4/3より、0<p<2/√3=2√3/3 と書いてありました。(1)の式までは理解しましたが、一方から何を目的に変形したのかがよくわかりませんでした。解説をよろしくお願いします。 (2) 解答 △OPQを底面とすると、V=1/3 △OPQ・|↑OA|=1/3 ・ 1/2 pq ・2=1/3 pq (3)より、p^2q^2+4(p^2+q^2)=16/3 ここで相加平均と相乗平均の関係より、 p^2+q^2≧2√p^2q^2=2pq (等号成立はp^2=q^2のとき)であるから p^2q^2+4・2pq≦16/3 (pq+4)^2≦64/3 4<pq+4≦8√3/3 0<pq≦8√3-12/3 よってp^2=q^2=8√3-12/3 のとき、Vは最大値1/3 ・8√3-12/3=8√3-12/9をとる と書いてありました。(3)よりからよくわかりません。なぜ相加相乗平均を使うのかがよくわかりません。また、平方を作ったりしていますがどういう意図で解答するのか教えてください。 質問です。 3つの辺の長さがAC14.7cm、AB19 .6cm、BC24.5cmの直角三角形ABCの中に、長方形PQRSをかきました。 Pは辺AB上に、QとRは辺BC上に、Sは辺AC上にあります。また、PQの長さとQRの長さの比は1:2となっています。 (1)PQの長さを1としたとき、BQ.RCの長さはそれぞれいくらになりますか? (2) 長方形の面積は何平方センチメートルですか? お願いします。 内分点 △ABCの内部の点をPとしAPベクトル+2BPベクトル+3CPベクトル=ゼロベクトルが成り立つとする また、2点A、Pを通る直線と辺BCとの交点をQとする AP:PQ、BQ:QCを求めよ APベクトル=1/3ABベクトル+1/2ACベクトルだから AQベクトル=t(1/3ABベクトル+1/2ACベクトル)までは分かったのですが、ここからどうやればよいでしょうか?答えは AP:PQ=5:1 BQ:QC=3:2です