数学得意な方

質問

lim[n→∞] log(log(n))/n
の極限値の求め方をおしえてほしいです

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

x>1 なる実数として、f(x)=log{log(x)}/x を考えます。
ロピタルの定理を適用し、
lim[x→∞]f(x)
=lim 1/{x*log(x)}=0...(*)
です。
ーーーーーーーーーー
f(x)=log(x)/x - log(log(x))/x, (1<x) を考えてもできます。
簡単な計算により、
x>e で、f(x)>0.
が示せますから、すなわち、0 < log(log(x)/x < log(x)/x.
ここで、lim[x→∞](最右辺)=0 ですから(*)です。

回答No.1

info33

lim[n→∞] log(log(n))/n
=lim[u→∞] log(log(u))/u
x=1/uとおいて
=lim[x→+0] log(log(1/x))/(1/x)
ロピタルの定理より
=lim[x→+0] log(log(1/x))'/(1/x)'
=lim[x→+0] {(1/x)/(log(1/x))}/(-1/x^2)
=lim[x→+0] -x/(log(1/x))
ロピタルの定理より
= -lim[x→+0] x'/(log(1/x))'
= -lim[x→+0] 1/(-1/x)
= lim[x→+0] x
= 0