数学の区分求積の問題です

質問

lim(n→∞）[1/n+n/(n^2+1)+……+n/｛n^2+(n-1)^2｝]の極限値を求める問題についてです。

私は
＝lim(n→∞）1/n[1+n^2/(n^2+1)+……+n^2/{n^2+(n+1)^2}]
＝lim(n→∞）1/n + lim(n→∞）1/n[n^2/(n^2+1)+……+n^2/{n^2+(n+1)^2}]
とし、後ろの項は区分求積の求め方（？）からπ/4、lim(n→∞）1/nは0に収束するので答えはπ/4
としたのですが、解き方はこれで大丈夫でしょうか？
いまいちよく理解できていない範囲なので、間違いなどあったら教えていただきたいです！

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

項は分けずにまとめて区分求積したほうが簡潔に求められます。

　(与式)
=lim[n→∞] Σ[k=0→n-1] n/(n^2+k^2)
=lim[n→∞] (1/n)Σ[k=0→n-1] 1/{1+(k/n)^2}
=∫[x=0→1] 1/(1+x^2) dx
=∫[θ=0→π/4] dθ　　　　　　（x=tanθ　で置換。）
=π/4

お礼

最初の項をn/n^2と見れば一発だったんですね！
先に1/nを前に出すことで逆にこんがらがってしまいました（笑）
回答ありがとうございました！