区分求積法についてなのですが

質問

lim(n→∞) 1/n Σ（k=n→2n） (n+1)/(n+k)

という問題で、Σのなかの範囲を変えて、

lim(n→∞) 1/n ｛ (n+1)/2n + Σ(k=1→n) (n+1)/(2n+k)

となるところまでは変形できたのですが、どうしてもf(k/n)の式をつくりだすことができません・・・。
そもそもΣのなかの範囲を変える必要はあったのでしょうか？
どなたかご教授のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

k を変数変換して、Σ の範囲を変えても構いませんが、
ぜひ変えなければならない理由は、特にありません。

Σ 内部の式の分子を二つに分けて、
与式 = S + (lim[n→∞
] 1/n)S,
S = lim[n→∞] Σ[k=n→2n] 1/(1+(k/n))
と変形すれば、
与式 = S + 0・S,
S = ∫(1/(1+x))dx
但し ∫ は lim[n→∞] n/n から lim[n→∞] 2n/n まで
となることが解るからです。

k をずらして Σ[k=1→n] としてから計算を始めても、
悪いことはありません。
そちらのほうが区分求積がピンと来るならば、
そうしておけばよいでしょう。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

htms42

区分求積という事ですがもとの式が分かりません。
極限値を求めるために積分に変えようとしているということでしょうか。
そうであれば分子の（ｎ＋１）が余計なのです。Σの外に出すことができる定数です。

lim(n→∞) 1/n Σ（k=n→2n） (n+1)/(n+k)
＝lim(n→∞)(n+1)/n Σ（k=n→2n） 1/(n+k)
＝lim(n→∞) ((n+1)/n)[(1/n) Σ（k=n→2n）1/(1+k/n)]

(ｎ＋１)/ｎはｎ→∞で１になりますから
後ろの部分が１／（１＋ｘ）の積分に変わります。積分区間は１～2です。

そのまま
lim(n→∞) 1/n Σ（k=n→2n） (n+1)/(n+k)
＝lim(n→∞) 1/n Σ（k=n→2n） (1+1/n)/(1+k/n)
とやっても同じです。分子はΣに付いては定数です。
２つの項に分けたり、和を取る変数を変えたりしなければいけないと考えた理由が分かりません。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

しまった、誤字脱字。

S = lim[n→∞] (1/n)Σ[k=n→2n] 1/(1+(k/n))