区分求積法

質問

lim(n→∞) (π/n)Σ(k=2 to n)sin[{π(k-1)}/n]
=∫(0→π) sinx dx

と解説に書いてあったのですが区分求積で積分区間が0→πとなる理由・何故このような解き方ができるのか、がわかりませんでした。

どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

区分求積法の基本に立ち返れば、できます。

sin(x)を0~πの範囲で、n分割してあるので、
足し合わせる長方形の底辺が
π/n
高さが
sin(π(k-1)/n)
の長方形の面積をk=1~nでたしているから、
lim(n→∞) (π/n)Σ(k=2 to n)sin[{π(k-1)}/n]
のようになるんです。

ここで、k=2からになっているのは
k=1ではsin(π(1-1)/n)=0になるので書いてないだけです。

そう考えると、sin(x)の0~πの面積になるのは明らかです。

次に、区分求積法の公式に当てはめると、
π∫[x:0→1] sin(πx)dx
になるかと思います。
=∫[x:0→1] sin(πx)・πdx
として、t=πxと置換すれば、
dt=πdx
x:0→1
t:0→π
と置換できるので。
=∫[t:0→π] sin(t)dt
=∫[x:0→π] sin(x)dx
になります。

お礼

数時間考え込んでいましたが解説を聞かせていただきすっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.2

owata-www

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html

そしてここの範囲は
0→πをｎ等分しています（π/nより）

また、
(π/n)Σ(k=2 to n)sin[{π(k-1)}/n]
＝π/n{sin(π/n)+sin(2π/n)+sin(3π/n)…+sin(π(n-1)/n)}
でf(x)=sinxとおくと
π/n{sin(π/n)+sin(2π/n)+sin(3π/n)…+sin(π(n-1)/n)}
＝π/n{sin(0+π/n)+sin(0+2π/n)+…sin(0+π(n-1)/n)}
より、

lim(n→∞) (π/n)Σ(k=2 to n)sin[{π(k-1)}/n]
=∫(0→π) sinx dx
となります。

まあ、
lim(n→∞) (π/n)Σ(k=2 to n)sin[{π(k-1)}/n]
=∫(0→1) sinπx dx
とした方が分かりやすいかもしれませんが…

お礼

解説ページまで貼って頂きありがとうございました。
おかげさまで疑問が解消できました。ありがとうございました。