区分求積

質問

n
lim　　Σ(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}
n→∞ k=1
が存在するためにはa=□でなければならない。
aを求めよ。

区分求積を使うのだろうと思うのですが、
解き方がわかりません。
教えてください。

回答No.1

quadlike

nが十分に大きいとき，k/√(n^2+1)≒k/n となるのは感覚的にわかりますよね。
ということで，
(与式) ≒ lim[n→∞]Σ[k=1,n](a+k/n)(1+k/n) ＝ lim[n→∞]Σ[k=1,n] {(k/n)^2+(1+a)(k/n)+a}
が収束するためのaの値を求めればよいわけです。だからaは……。
(正確な議論をする場合には，k/√(n^2+1) を適当にはさんで評価してやればOKです。)