数学III

質問

次の極限を求めよ。
(1)r>1のとき、lim[n→∞] n^2/r^n

(2)lim[n→∞]4^n/n!

どうやってはさみうちをすればいいか教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

r>1より、h>0としてr=1+hと置きます。
　　(1+h)^n = 1 +nh +(n(n-1)/2)*(h^2) +(n(n-1)(n-2)/6)*(h^3) + ... +C[n,k]*(h^k) + ... + nh^(n-1) + h^n
で、nもhも正ですから右辺の項は全て正。
よってh^3の項だけ取り出すと、
　　(1+h)^n > (n(n-1)(n-2)/6)*(h^3)
ここまでわかれば、右辺を使って押さえ込めます。

　　(4^n)/(n!) = (4/1)*(4/2)*(4/3)*(4/4)*(4/5)*(4/6)*...*(4/n)
　　　　　　　 < (4/1)*(4/2)*(4/3)*(4/4) * (4/5)*(4/5)*(4/5)*...*(4/5) = (4/1)*(4/2)*(4/3)*(4/4) *(4/5)^(n-4)
これも右辺を使って押さえ込めばokです。
わからないところがあったら補足にどうぞ。