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数学 極限

lim{1/n log(a^n+a^2n)の解き方を教えてください

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回答No.2

#1です。 ~~~~~~~ a ≧ 1のとき  a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) < 2a^2n  (a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)  a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) < a^2・2^(1/n) ~~~~~~~ じゃなくて、 ~~~~~~ a ≧ 1のとき  a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) ≦ 2a^2n  (a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) ≦ (2a^2n)^(1/n)  a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) ≦ a^2・2^(1/n) ~~~~~~ ですね。 もしくは、 ~~~~~~ a > 1のとき  a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) < 2a^2n  (a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)  a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) < a^2・2^(1/n) ~~~~~~ と a = 1とに場合分けをする。 a = 1のとき、  (a^n+a^2n))^(1/n) = (1^2+1^2n)^(1/n) = 2^(1/n) なので、  lim (a^n+a^2n))^(1/n) = lim 2^(1/n) = 1 とやってください。 ではでは。

回答No.1

(1/n)・log(a^n+a^2n) = log((a^n+a^2n)^(1/n)) a < 1の時、  a^n < a^n + a^2n < 2a^n  (a^n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)  a < (a^n+a^2n))^(1/n) < a・2^(1/n) となる。  lim a = a  lim a・2^(1/n) = a ハサミウチの定理より  lim (a^n+a^2n))^(1/n) = a a ≧ 1のとき  a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) < 2a^2n  (a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)  a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) < a^2・2^(1/n) となる。  lim a^2 = a^2  lim a^2・2^(1/n) = a^2 ハサミウチの定理より  lim (a^n+a^2n))^(1/n) = a^2 もう答えは出たようなもの。  a < 1のとき  lim {1/n log(a^n+a^2n) = log(a)  a ≧ 1のとき  lim{1/n log(a^n+a^2n) = log(a^2) = 2log(a)

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