極限

質問

a>0のとき、lim(n→∞)a^n/n!を求めよ。

解いてみました。
lim(n→∞)a^n/n!=lim(n→∞)1*a^n/{n*(n-1)*(n-2)*...2*1}
=lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}
lim(n→∞))1/n=0なので
lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}=0
∴lim(n→∞)a^n/n!=0
としましたが、バツでした。どこがどう違っているのでしょう？？？

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

a^n　の極限が問題です。
0<a<1のとき０
a=1のとき１
a>1のとき∞

a>1のときがどうなるかですね。
質問のやり方では
1/n→０，しかし　a^n→∞だからa^n/{(n-1)!}は？

これでは元の問題と替わりません。

a^n/n!＝(a/1)(a/2)(a/3)・・・(a/n)
ここでｎ→∞ですから，aが定数であればa<k<nである
ｋが存在します。
(a/1)(a/2)・・・(a/(k-1))ここまでは定数
(a/k)・・・(a/n)＜(a/k)^(n-k+1)この部分の極限は０
定数と極限値０の掛け算なら０ですね。

いちおうこのやり方ならａによる場合分けも必要ありません。

お礼

ていねいなアドバイスをありがとうございました。そうか、a^n/{(n-1)!}は収束しないとは言えないですよね。よくわかりました。

回答No.3

noname#17965

=lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}
lim(n→∞))1/n=0なので
lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}=0

ここの部分、回答には書いてませんが無意識のうちに以下の式が省略されてます。
lim[1/n*a^n/{(n-1)!}]
={lim(1/n)}*[lim{a^n/{(n-1)!}]
ここが誤りです。limの中身を分割は出来ません。
回答は＃２の通りだと思います。

お礼

アドバイス、ありがとうございました。根本的な誤りです。勉強不足ですね。がんばります。

回答No.1

postro

たとえば
lim(n→∞)（n^2 - 1)/(n+1)=∞ ですね、それを
lim(n→∞)（n^2 - 1)/(n+1)=lim(n→∞)1/(n+1)*（n^2 - 1)
lim(n→∞)1/(n+1)=0 なので
lim(n→∞)（n^2 - 1)/(n+1)=lim(n→∞)1/(n+1)*（n^2 - 1)=0
とやったら当然バツですよね。
式全体で判断しなくてはいけません。

お礼

アドバイスをありがとうございました。そうですよね、式全体で判断ですよね・・・。勉強不足です。がんばります。