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数学の問題です。お願いします。

数学の問題です。お願いします。 半径a、高さ2aの円柱を、底面の直径を含み底面と45°の角をなす平面で切断する。切断されたそれぞれの部分の体積を求めよ。

みんなの回答

  • gamma1854
  • ベストアンサー率52% (308/585)
回答No.4

すみません。極座標への変換により計算しています。s=sinφ の略です。 空間における「平面」z=y を考え、領域D上において積分します(これが問題の立体の体積です)。 V=∫∫[D]ydxdy =∫[0~pi]{∫[0~a]rs*rdr}dφ =(2/3)a^3. となります。

  • gamma1854
  • ベストアンサー率52% (308/585)
回答No.3

うっかり勘違いし、失礼しました。 D={(x, y)| x^2+y^2≦a^2, 0≦y}として、小さいほうの体積Vは、 V=∫∫[D]ydxdy =∫[0~pi]{∫[0~a]rs*rdr}dφ =(2/3)a^3. となります。

kenken22525
質問者

補足

解答ありがとうございます! 質問なのですが、 ∫[0~pi]{∫[0~a]rs*rdr}dφ この式のrsの部分がわかりません。 教えて欲しいです。

回答No.2

積分の計算になりますね。 45度の角度で切った立体(Tと名付けましょう)の体積を求めます。丁度ギョーザや切り分けたリンゴみたいな形になりますね。 底面の直径上に,円の中心を原点にしてx軸をとります。ただし,-a≦x≦a。 さて,底面上でx軸に垂直な直線が円周と交わる点とx軸との距離は √(a^2-x^2) となります。座標xの所でTを45度の角度で切った図形は一辺が√(a^2-x^2)の直角二等辺三角形になり,その面積は 1/2(√(a^2-x^2))^2=1/2(a^2-x^2) です。従ってTの体積は ∫(-a→a)1/2(a^2-x^2)dx =2∫(0→a)1/2(a^2-x^2)dx =∫(0→a)(a^2-x^2)dx =(2/3)a^3……(答) 円柱の体積は πa^2*2a =2πa^3 ですから,残りの部分の体積は 2πa^3-(2/3)a^3 =(2π-2/3)a^3……(答) ではないでしょうか。

kenken22525
質問者

補足

解答ありがとうございます! 質問があるのですが、 底面上でx軸に垂直な直線が円周と交わる点とx軸との距離は√(a^2-x^2) ここの部分がよくわかりません。 お願いします。

  • gamma1854
  • ベストアンサー率52% (308/585)
回答No.1

この場合は、計算するまでもなく立体は平面で2等分されます。

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