定積分と体積

質問

Oを中心とする半径2の円を底面とする直円柱を、底面の円の中心Oから距離1の弦を含み底面とのなす角が60°の平面で切って、立体をつくる。 立体の体積を求めよ。

答えが (8√3)π/3 + 9 とのみあります。
算出の過程を教えてください。よろしくお願いします。

尚、中心Oを含む側の底面と平面のなす角が60°となります。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

弦と平行な垂直面で立体を切ったときの断面は長方形になります。
断面と弦との距離をtとすると長方形の面積は、
S(t)=2√(4-(1-t)^2)*√3t
立体の体積は、
∫[0→3]S(t)dt
これを計算すれば求める答になります。

お礼

困っていたので、助かりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

151A48

図をかけば分かりやすいのに，もどかしいのですが・・・
直径に垂直な面で切って，その図形の面積を積分します。円をかいたとき弦はあなたから見て直径の手前にあることに注意して下さい。中心からxの距離にある点で直径に垂直な面で切ったとき，その切り口は
　(1)-√3<x<√3 のとき，底辺1+√(4-x^2)，高さ(√3)(1+√(4-x^2))の直角三角形になることを確かめてください。
　(2)-2<x<-√3,√3<x<2　のときは円柱と二回交わることに注意して，上底，下底が
　(√3)(1+√(4-x^2)),（√3)(1-√(4-x^2))，高さ2√(4-x^2)の台形になることを確かめてください。
　したがって(1)の面積((√3)/2)(1+√(4-x^2))^2を0から√3まで積分，(2)の面積(2√3)√(4-x^2)を
　√3から2まで積分して，これらを足し合わせ，最後に２倍すればよいでしょう。
　上記の意味の確かめと計算はご自身でなさってみてください。√(4-x^2)の積分が出てきますが，これは公式（高校ではやらない）や置換積分を使うより，円を書いて求める部分の面積を出したほうが速いでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。