定積分 体積

質問

底面の半径がaの二つの直円柱の軸が直交しているとき、これらの直円柱の共通部分の体積の求め方を教えてください。

回答No.3

info22

同じ問題の質問の回答がありますのでご覧下さい。

2本の円柱の共通部分の体積
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/amg.htm
http://homepage3.nifty.com/sugaku/entyuu.htm
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1691.html

回答No.2

tksmsysh

回答番号：No.1さんとは違う、別解です。

「x^2+y^2≦a^2
　y^2+z^2≦a^2 (a>0)
　の共通部分の体積を求めよ」

y=k(-a≦k≦a)での立体の切り口を考える。
y=kのとき、
|x|≦(a^2-k^2)^(1/2)
|z|≦(a^2-k^2)^(1/2)　………(1)

xz平面で、領域(1)が表す図形は一辺の長さが2(a^2-k^2)^(1/2)の正方形である。この正方形の面積をS(k)とすると、
S(k)=4(a^2-k^2)^(1/2)

よって、求める体積Vは、
V=∫(-a,a)S(k)dk
=∫(-a,a)4(a^2-k^2)^(1/2)dk
=2∫(0,a)4(a^2-k^2)^(1/2)dk (S(k)は偶関数だから)
=(16a^3)/3

回答No.1

mister_moonlight

2つの直円柱の軸を各々x軸、y軸に取ると、その方程式は、y＾2＋z＾2＝a＾2、x＾2＋z＾2＝a＾2.
この2つの直円柱の共通部分で、x≧0、y≧0、z≧0の範囲にある立体をＡとすると、対称性から、Ａの体積は求める体積Ｖの1/8である。
この立体Ａを、xy平面に平行でxy平面からzの距離にある平面で切ると、その切断面は1辺の長さが√（a＾2-z＾2）の正方形で、その面積は（a＾2-z＾2）。
従って、立体Ａの体積は、Ｖ/8＝∫（0、a）{a＾2-z＾2}dz＝（2/3）*a＾3　であるから、Ｖ＝（16/3）*a＾3　。