体積の問題

質問

半径が a 、高さが b　、体積が100cm3の円柱があるとします。

この円柱の形を全く変えることなく、体積を20%少なく(縮小)すると、半径 a と高さ b はそれぞれ何%の大きさになるのでしょうか？

単純に各長さを20%小さくすると、体積は20%よりも小さくなってしまします。

私では求め方が全くわかりません。
説明していただける方がいましたらお願いします。

回答No.1

yoshi20a · ベストアンサー

円柱の体積は、a^2×π×b=Sです。
円柱の体積は半径の２乗と高さに比例します。

この体積が80%になり、かつ、半径と高さの比率が不変なわけですから、
３乗して0.8になる数字をa、bにかけてあげることが正解です。
３乗して0.8になる数字は、0.928くらい。したがって、92.8%が正解。

お礼

なるほど！
私でも理解できました。

ありがとうございます。

回答No.2

Knotopolog

体積 V は，

V＝4πa^2・b

です．V＝100cm^3 ですから，

4πa^2・b＝100cm^3

です．ここで，体積を 20％ 少なくするわけですから，その体積は，80cm^3 です．
そして，その時の半径を c，高さを d　とします．すると，

4πc^2・d＝80cm^3

となります．ここで，比を取ると，

4πc^2・d/4πa^2・b＝80/100

c^2・d/a^2・b＝0.8

(c/a)^2(d/b)＝0.8

(d/b)＝0.8/(c/a)^2

d/b ＝0.8(a/c)^2

d ＝0.8b(a/c)^2

dc^2 ＝0.8ba^2

ここで，

c ＝0.8^(1/3)a
d ＝0.8^(1/3)b

として，計算すると，

dc^2 ＝0.8^(1/3)b・[0.8^(1/3)a]^2＝
＝0.8^(1/3)b・[0.8^(1/3)]^2・a^2＝
＝0.8^(1/3)b・0.8^(2/3)・a^2＝
＝0.8^(1/3)・0.8^(2/3)b・a^2＝
＝0.8^(3/3)b・a^2＝
＝0.8b・a^2

dc^2 ＝0.8b・a^2

となります．0.8^(1/3)は，

0.8^(1/3)＝0.928317767 ≒0.928

なので，

c ＝0.928a
d ＝0.928b

したがって，半径 a を 0.928倍の 0.928a とし，高さ b を 0.928倍の 0.928b とすれば，体積を 20％ 減少できます．

お礼

とても丁寧な解説をありがとうございます。

実際に数字を当てはめて計算してみたいと思います。

ありがとうございました。