円柱が２つ交わっている場合の共通部分の体積について

質問

両側に無限に伸びた直円柱で切り口が半径aの円になっているものが２つある
いま、直円柱は中心軸がπ/4の角をなすように交わっているとする。交わっている部分（共通部分）の体積を求めよ

何ですが
求め方を教えて頂きたいです、よかったらお願いします（高校レベルでお願いします）

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

2本の円柱の軸がx-y平面に、x軸に対して±π/8の角度でそれぞれ交わっているのを想像してみてください
2本の交わり部分ははx-z平面、y-z平面に対して面対称であることが分かります
（分からなければz=kの面でスライスしたものを想像すれば分かると思います）
それぞれ同じ形状ですからx>0,y>0の部分Aの体積を4倍したものが答えになります
ここでAをx-y平面上でz軸を中心にπ/8回転させてAの表面を構成するほうの円柱
（共通部分なので内側の円柱といったほうがいいでしょうか）の軸がx軸に一致するようにすると、
Aは円柱をy=tan(π/8)xとy=tan(5π/8)xの平面で切り落とした形ですので
分かると思いますけど、断面積は円のy=k、（kはk<aの定数）より大きい部分というものになって
x軸上でそのy-z平面のAの断面積をacos(5π/8)からacos(π/8)まで積分するとAの体積になります。

回答No.2

noname#152422

それら直円柱の二本の中心軸に平行な平面で切った切り口を考えます。

1本の円柱について、その中心軸に平行な平面で切ると互いに平行な2本の直線に挟まれた帯状の領域になりますから、上記の切り口はひし形で、小さい方の内角がπ/4になることがわかります。

（ピンとこなかったら、二次元平面上に互いに45°の角度をなす帯を二本重ねた絵を描いてみてください）

平面を、2本の直円柱との交点を持つように端から端へ移動させるとき、その平面と２つの中心軸を含む平面との距離をx、1本の円柱を切ったときの互いに平行な2本の直線間の距離をhとすると、三平方の定理より、

(a^2)=(x^2)+(h/2)^2

となります。

ひし形の1辺の長さをyとすれば、

y(sin(π/4))=h

となり、ひし形の面積Sは、

S=(1/2)(y^2)(sin(π/4))

となります。

不要な変数hとyを消去して、Sをxについてx=-aからx=aまで積分すれば体積が求まります。