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円柱を切断した体積

問題 半径1の円を底面とする高さ1/√2の直円柱がある。底面の円の中心をoとし直径を1つ取りABとおく。ABを含み底面と45°の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき、体積の小さい方の部分をVとする。 Vの体積を求めよ。 この答えは、 π√2/16+1/3-5√2/24 で合っていますか。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.2

>この答えは、 >π√2/16+1/3-5√2/24 >で合っていますか。 求める体積Vの1/2倍にあたります。 2倍すれば求める体積Vになるので、計算をチェックしてみて下さい。 計算 xyz座標軸を 原点O(0,0,0), A(-1,0,0), B(1,0,0), 円柱の高さ(h=1/√2)方向をz軸方向となるように とると、 小さい方の立体を高さzのところで水平面で切断した弓形(円の一部)の断面積Sは S=1*1*arccos(z)-z√(1-z^2) なので 求める立体の体積Vは V=∫[0→1/√2] Sdz =∫[0→1/√2] {arccos(z)-z(1-z^2)^(1/2)}dz =[{z*acos(z)-(1-z^2)^(1/2)}-(1-z^2)^(3/2)/3][0→1/√2] =(√2)π/8+(2/3)-5(√2)/12 ...(答)

kober2
質問者

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。 とてもわかりやすいです。

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.1

>体積の小さい方の部分を底面からの高さh(0≦h≦1/√2)で 底面と平行な平面で切った断面は、半径1高さ(1-h)の弓形 であり、その面積をS(h)とするとθ=arccos(h)として S(h)=π1^2*2θ/2π-h√(1-h^2)=θ-h√(1-h^2) よってV=∫[h=0→1/√2]S(h)dh =∫[h=0→1/√2]{θ-h√(1-h^2)}dh =∫[h=0→1/√2]arccos(h)dh-∫[h=0→1/√2]h√(1-h^2)dh ={h*arccos(h)-√(1-h^2)}[h=0→1/√2] -{(-1/3)(1-h^2)^(3/2)}[h=0→1/√2] =(1/√2)*arccos(1/√2)-√{1-(1/√2)^2}-{-√1}-(4-√2)/12 =√2π/8-√2/2+1-(4-√2)/12=(3√2π-10√2+16)/24 ということで、質問者さんの答えの丁度2倍になりました。

kober2
質問者

お礼

計算過程まで掲載していただき、丁寧な回答を本当にありがとうございます。

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