わからない問題

質問

数学の問題なんですけど、
解説を見てもなぜそうなるのかがよくわかりません。
詳しく解説お願いします。
問題
底面の半径が６ｃｍ、高さが１０ｃｍの円柱がある。
この円柱に入るできるだけ大きい正四角錐や正三角錐を考える。
ただし、底面は円柱の底面上にあるものとする。

回答No.3

noname#71905 · ベストアンサー

※２乗の表記は、【aの２乗→a^2】のように、【^2】としてあります。
※かける(×)は、エックス(x)と混同しやすいので、【＊】としてあります。

正方形(正四角形)の面積の方は、ひし形と考えて
　公式【ひし形の面積＝(1/2)＊(対角線)＊(対角線)】　を使って
　　対角線＝直径＝6＊2＝12　から
　(1/2)＊(12)＊(12)＝(1/2)＊(12^2)と表現してあるようです

正三角形の面積の方は
　公式【一辺aの正三角形の面積{(√3)/4}a^2】をつかって
　●一辺＝直径＊{(√3)/2}＝6√3　から
　　　・・・(√3)/2 は、30，60，90の直角三角形の比
　{(√3)/4}＊(6√3)^2　と表現してあるようです。

●の補足{円の半径(直径)から、内接する正三角形の一辺を求めるとき}
考え方はいくつかありますが、そのうちの１つ
　正三角形ＡＢＣの１つの頂点Ｂと
　　円の中心Ｏを通る直線と円の交点Ｄを考えると
　　　直角三角形ＢＤＣができて(直径ＢＤに対する円周角は90°)
　　　∠ＢＡＣ＝60°から∠ＢＤＣ＝60°(弧ＢＣに対する円周角)
　30，60，90の直角三角形の比を使って、
　　ＤＣ：ＤＢ：ＢＣ＝1：2：√3　から
　　　一辺(ＢＣ)＝{(√3)/2}＊直径(ＤＢ)

お礼

どうもありがとうございます。
ＳＩＮを理解したら、わかりました～
そこで問題なんですけど、
これからこうゆう問題をやる上で
覚える三角比というのは３０、４５、６０で大丈夫でしょうか？
他はかいてなくて.....
それともＳＩＮ３０°＝２/1見たいのなのがわかる方法でもあるのでしょうか？
その辺がちょとと.....

回答No.6

Quattro99

#4です。
すみません。条件を見落としていました。

回答No.5

debut

Ｎｏ２です。
サインを習っていないならば。

△ＡＢＣがあって、∠Ａ＝30°、∠Ｂ＝60°、∠Ｃ＝90°
とします。
このとき、辺に関して
　ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝２：１：√３　が成り立ちます。

半径６cmの円に内接している正三角形をＡＢＣとすれば
ＡからＢＣに垂線ＡＨを引くと、△ＡＢＨがちょうど上
に書いた△ＡＢＣと同じになります。

一方、この円の中心Ｏは垂線ＡＨ上にあり、ＯとＢを
結ぶと、△ＯＢＨも30°、60°、90°の直角三角形に
なります。（これは上に書いた△ＡＢＣの向きをかえた
もの）△ＯＢＨの辺ＯＢは半径のことなので６cmです。
すると、辺の比ＯＢ：ＯＨ＝２：１　からＯＨ＝３cm
とわかります。
よって、ＡＨ＝ＡＯ＋ＯＨでありＡＯは半径のこと
だから、ＡＨ＝６＋３＝９cmとなります。

そして、△ＡＢＨで辺の比ＡＢ：ＡＨ＝２：√３を使い
ＡＢ：９＝２：√３　→　√３ＡＢ＝１８
　→　ＡＢ＝１８/√３＝１８√３/３＝６√３　と、
半径６cmの円に内接する正三角形の１辺が求められます。

次に面積ですが、解説ではsinを使った公式をあてています
が、普通の[１/２×底辺×高さ]でもいいのです。
底辺はさっきの正三角形の１辺６√３、高さはさっきの
ＡＨ＝９cmなので、面積＝(１/２)×６√３×９＝２７√３
（sinの公式の方：(√３/４)×(６√３)^2＝２７√３）

と、この問題に関しては、サインがなくてもできます。

お礼

解説ありがとうございます。
サインについては今年中に習うので一応覚えておこうと思います。
そっちの方がわかりやすいですしｗ
ちなみにこの問題は中３です。

回答No.4

Quattro99

計算して確認していないので回答ではないのですが。

補足にある解答を見ると、円柱の底面に正四角錐や正三角錐の底面を取っているようですが、例えば、円柱の側面に正四角錐や正三角錐の稜線を取った場合、正四角錐や正三角錐の高さは少し低くなりますが、底面積は少し大きく取れるのではないかと思います。解答にあるような場合とどちらが体積が大きいのか（あるいは、それ以外にもっと体積が大きくなる場合がないのか）を確認する必要があるのではないかと思うのですが。

お礼

指摘ありがとうございます。
しかし、
底面は円柱の底面上にあるものとすると問題文に書いてあるので、
確認しなくても大丈夫だと思いますけど、
何か見落としてますかね？

回答No.2

debut

半径６cmの円に内接する正三角形の１辺が６√３cmに
なることはいいですか？
三角形ＡＢＣの面積の公式：
　(1/2)×ＡＢ×ＡＣ×sinＡ　より
　(1/2)×６√３×６√３×sin60°
＝(1/2)×６√３×６√３×(√３/２)
＝(√３/４)×(６√３)^2
です。

半径６cmの円に内接する正方形の対角線は、円の直径
なので12cmです。
この正方形を菱形とみれば、菱形の面積の公式：
　対角線×対角線×(1/2)　より
　１２×１２×(1/2)＝１２^2/２
です。

補足

解説ありがとうございます。
見てみたんですが、
正三角形が６√３になるのがよくわかりません。
sin（サイン？）は習ってないんで
どうゆうものか教えてください。
知らない公式が多くて....
（ひし形の面積の公式と三角形ＡＢＣの面積の公式）

回答No.1

koko_u_

できるだけ大きいというのは「体積が大きい」ということですか？
まさか表面積？

冗談はさておき、どこかどうわからんかを補足してね。

補足

つけるの忘れました。＾＾；
もちろん、体積ですよ。
どこがわからないといいますと
正三角形の方
３分の一×２分の１２の２乗×１０＝２４０　　
ここの２分の１２の２乗がよくわかりません。
正四角形の方
３分の一×４分の√３×６√３の２乗×１０＝９０√３
ここの６√３の２乗がよくわかりません。