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空間図形の問題です
図のような直方体がある。 四角形ABCDは、1辺3cmの正方形でありAE=5cmとする。 点Pを頂点として、△ABFを底面とする三角錐の体積を求めなさい。 という問題です。 解説もなく困っています。 詳しく解説お願いしますm(__)m
- hanatyann-hu
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- yyssaa
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＞四角形EFGHの面積は3*3=9(cm^2)だから、これを底面とする 四角錐の高さをhとすると、四角錐の体積は(1/3)*9h(cm^3)。 これが直方体の体積(=3*3*5=45cm^3)の1/12だから (1/3)*9h=45/12からh=5/4(cm)。 PからEGに下ろした垂線の足をJとすると、PJ=h=5/4(cm)。 △AEG∽△PJGだからAE/PJ=EG/JG。三平方の定理で EG=√(3^2+3^2)=√18=3√2(cm)、AE=5(cm)だから JG=PJ*EG/AE=(5/4)*3√2/5=3√2/4(cm)。 EJ=EG-JG=3√2-3√2/4=9√2/4(cm)。 JからEFに下ろした垂線の足をKとすると、△EFG∽△EKJで EF=FGだからEK=KJ。EJ=9√2/4(cm)だから三平方の定理により、 KJ=9/4(cm)。これが△ABFを底面とする三角錐の高さになるので、 三角錐の体積=(1/3)*3*5*(1/2)*9/4=45/8(cm^3)・・・答
- gohtraw
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点Ａを頂点とし、四角形ＥＦＧHを底面とする四角錐の体積は、この直方体の 体積の１／３ですから、ＰＧの長さはＡＧの長さの１／４です。したがって、 三角錐Ｐ－ＡＢＦの体積は三角錐Ｇ－ＡＢＦの体積の３／４です。 三角錐Ｇ－ＡＢＦの体積は直方体の体積の１／６ですから、三角錐Ｐ－ＡＢＦ の体積は直方体の体積の３／４＊１／６＝１／８ です。
お礼
理解できました(*^_^*) いろいろありがとうございました！
- yyssaa
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＞点Pがどういう点なのかの説明がないと、解けないが。
補足
ごめんなさい。 点Pを頂点とし、四角形EFGHを底面とする四角錐の体積がこの直方体の体積の1/12になるようにする。 ですm(__)m
- gohtraw
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Ｐはどのような点ですか？ ＡＢＦを底面とし、点Ｇを頂点とする三角錐の体積は判るのですから、 あとはＰがどういう点か判ればいいのですが・・・・。
補足
ごめんなさい。 点Pを頂点とし、四角形EFGHを底面とする四角錐の体積がこの直方体の体積の1/12になるようにする。 ですm(__)m
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お礼
詳しく本当にありがとうございました！ 理解できました(*^_^*)