数学の問題です。お願いします。

質問

数学の問題です。お願いします。
空間内で、A(1,0,0), B(4,1,-1), C(0,-3,1), D(1,1,5)とするとき、ABCを底面とし、ADを1辺とする三角柱の体積を求めよ。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

A(1,0,0), B(4,1,-1), C(0,-3,1), D(1,1,5)

底面△ABC
と
AD
は垂直ではないので

斜角柱
となります

↑AC=C-A=(-1,-3,1)
↑AB=B-A=(3,1,-1)
↑AD=D-A=(0,1,5)

△ABCの法線(高さ方向)ベクトルを↑AHとする
斜3角柱の体積をVとする
斜3角柱の高さをhとすると

|△ABC|=(1/2)|↑AC×↑AB|

∠DAH=(高さ方向ベクトルと↑ADのなす角度)だから

h=|↑AD|cos∠DAH

V=|△ABC|h

↓|△ABC|=(1/2)|↑AC×↑AB|
↓h=|↑AD|cos∠DAH

V=(1/2)|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH

↓外積↑AC×↑ABの向きは高さ方向で
↓∠DAH=(高さ方向ベクトルと↑ADのなす角度)だから
↓外積↑AC×↑ABと↑ADの内積は
↓(↑AC×↑AB,↑AD)=|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH
↓だから

V=(1/2)(↑AC×↑AB,↑AD)
=
(1/2)
(|-3,1|,|1,-1|,|-1,-3|),(0,1,5))
(|1,-1|,|-1,3|,|3.,1.|)
=
(1/2)
((2,2,8),(0,1,5))
=
((1,1,4),(0,1,5))
=
21

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
わかりやすかったです！！

回答No.3

muturajcp

A(1,0,0), B(4,1,-1), C(0,-3,1), D(1,1,5)

底面△ABC
と
AD
は垂直ではないので

斜角柱
となります

↑AC=C-A=(-1,-3,1)
↑AB=B-A=(3,1,-1)
↑AD=D-A=(0,1,5)

△ABCの法線ベクトルを↑AHとする
斜3角柱の体積をVとする
斜3角柱の高さをhとすると

|△ABC|=(1/2)|↑AC×↑AB|
h=|↑AD|cos∠DAH

V
=
(1/2)|△ABC|h
=
(1/2)|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH
=
(1/2)(↑AC×↑AB,↑AD)
=
(1/2)
(|-3,1|,|1,-1|,|-1,-3|),(0,1,5))
(|1,-1|,|-1,3|,|3.,1.|)
=
(1/2)
((2,2,8),(0,1,5))
=
((1,1,4),(0,1,5))
=
21

補足

解答ありがとうございます。
質問なのですが、ここの式のcosのところがよくわかりません。
(1/2)|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH
=
(1/2)(↑AC×↑AB,↑AD)

回答No.2

f272

三角柱っていうのはこういう図形ですか？
三角形ABCの面積は(1/2)√(|AB|^2*|AC|^2-(AB,AC)^2)

補足

問題には三角柱しか書いておらず、図形はよくわかりません。
すいません。

回答No.1

gamma1854

三角形ABCを含む平面αは、
α：x+y+4z=1,
と求まり、α と点Dとの距離は 7/√2 ですから、「四面体ABCD」(三角錐)の体積は、
V=(1/3)*(三角形ABC)*(7/√2).
で計算できます。
ーーーーーーー
「三角柱」の意味がよくわかりません。

補足

わたしも問題には三角柱と書いてあって、そこがわからないんです。