ガウス記号の関数の最大値と最小値

質問

最大値、最小値を求める範囲に疑問があるので質問します。
xが実数であるとき、不等式m≦x<m+1をみたす整数mを[x]で表す。
(1)x≧0のとき、y=x-[x]の値の範囲は0≦y<1である。またnが負でない整数のとき[n+x]=n+[x]である。
(2)0≦x<1のとき[x],[2x],[3x]の値は添付した画像のようになる。
ここまでが準備で、問題は(1),(2)より
x≧0のとき f(x)=[3x]-([x]+[2x]/2+[3x]/3)の最大値と最小値を求めよというものです。
本では(2)の表をもとに、[x]+[2x]/2+[3x]/3の値を求め、f(x)の値を求めています。
こうして得られた計算結果から最大値5/6と最小値0を求めています。でも(2)の表は0≦x<1での値なので、x≧0のとき例えばx≧1の場合の、f(x)の値がわからないと思うのです。(1)の示したことから、f(x)はx≧0のとき0≦x<1の範囲で最大値と最小値をとることがわかると思うのですが、自分にはできませんでした。どなたかf(x)はx≧0のとき0≦x<1の範囲で最大値と最小値をとることを説明してください。お願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

f(x+n)=f(x+(n-1))=・・・f(x+2)=f(x+1)=f(x)
ということは，x≧0のときのf(x)の値は，0≦x<1の範囲のf(x)の値を延々と繰り返しているだけということです。

お礼

グラフにしたりして、理解できるように努めます。補足へのお返事ありがとうございます。

回答No.1

f272

f(x)=[3x]-([x]+[2x]/2+[3x]/3)
であれば
f(x+1)=[3x+3]-([x+1]+[2x+2]/2+[3x+3]/3)
f(x+1)=[3x]+3-([x]+1+([2x]+2)/2+([3x]+3)/3)
f(x+1)=[3x]-([x]+[2x]/2+[3x]/3)
になるから，f(x+1)=f(x)です。これを繰り返し使えばx≧0のときのf(x)の最大値，最小値は，0≦x<1のときのf(x)の最大値，最小値と同じになることが分かるだろう。

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

よければお返事ください。f(x+n)=f(x+(n-1))=・・・f(x+2)=f(x+1)=
f(x)より、x軸方向に-n平行移動したグラフの最大値、最小値はf(x)の最大値、最小値と同じになると思ったのですが、x≧0のときのf(x)の最大値，最小値は，0≦x<1のときのf(x)の最大値，最小値と同じになることが分かりませんでした。なにかヒントがあれば教えてくださいお願いします。