ガウス記号

質問

実数xに対して、その整数部分を〔x〕で表す。すなわち〔x〕は不等式
〔x〕≦x<〔x〕＋１をみたす整数である。実数xに対して、等式
〔x〕＋〔x＋1/3〕＋〔x＋2/3〕=〔3x〕が成り立つことを示す。

まず
0≦α＜1/3
1/3≦α<2/3
2/3≦α<1の場合わけがわかりません。
表し方が
小数部分をαとおく

0≦α＜1/3のとき

〔3x〕=〔x〕＋〔x＋1/3〕＋〔x＋2/3〕
=〔n＋α〕＋〔n＋α＋1/3〕＋〔n＋α＋2/3〕の式がわからないです。
nとαがわからない。（どこから現れたか）
〔n＋α〕のαが１より小はなぜわかるの？
〔n＋α＋1/3〕のα＋1/3が１より小はなぜわかるのか？
〔n＋α＋2/3〕のα＋2/3がなぜ１より小はなぜわかるのか？

〔n＋α〕＋〔n＋α＋1/3〕＋〔n＋α＋2/3〕を計算すると
なぜ3ｎなのか？

右辺＝〔3x〕=〔3n＋3α〕になるのか？
３αはなぜ1より小く、どこから現れてきたのでしょうか？

回答No.2

act11 · ベストアンサー

まず一般論を書きます。
実数Ｘの整数部分をn、小数部分をαとします。つまり
Ｘ＝n＋α　…(1)
ですね。
このときの[Ｘ＋β]（βは少数）がどうなるかを考えてみましょう。(1)より

[Ｘ＋β]＝[n＋(α＋β)]

ですから小数部分の和(α＋β)が１を超えるかどうかで[Ｘ＋β]の値が変わってきます。整理すると
０≦α+β＜１　のとき　[Ｘ＋β]＝n
１≦α+β　　　のとき　[Ｘ＋β]＝n＋1

さて本問では上の式でβ＝1/3，2/3　のときを考えるわけです。するとαの場合分けの仕方が見えてきませんか？

あと[n＋α]のαが何故１より小さいのか、ということですが。場合分けをして ０≦α＜１/3 としているわけですからαは1より小さくα＋2/3も１より小さいですよね。

補足

ありがとうございます。
０≦α+β＜１　のとき　[Ｘ＋β]＝n
１≦α+β　　　のとき　[Ｘ＋β]＝n＋1
は定義として考えてもよいですか？

回答No.3

act11

ＮＯ２です。
定義という表現は間違いだと思います。
公式と言ったほうがいいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#231526

ヒントのみ。
αについて、「小数部分をαとおく」
と書いてありますから、何の少数部分をαとおいたかということです。
x の整数部分を n
x の少数部分を α
と置いてあるようであります。