ガウス記号と等式の証明方法
- ガウス記号を用いて実数の整数部分を表す方法について解説します。
- また、等式〔x〕＋〔x＋1/3〕＋〔x＋2/3〕=〔3x〕の証明方法についても詳しく説明します。
- さらに、初めの条件0≦α＜1/3の場合について具体的な計算方法を示し、なぜ3nという値が現れるのかを説明します。
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ガウス記号
実数xに対して、その整数部分を〔x〕で表す。すなわち〔x〕は不等式 〔x〕≦x<〔x〕＋１をみたす整数である。実数xに対して、等式 〔x〕＋〔x＋1/3〕＋〔x＋2/3〕=〔3x〕が成り立つことを示す。 まず 0≦α＜1/3 1/3≦α<2/3 2/3≦α<1の場合わけがわかりません。 表し方が 小数部分をαとおく 0≦α＜1/3のとき 〔3x〕=〔x〕＋〔x＋1/3〕＋〔x＋2/3〕 =〔n＋α〕＋〔n＋α＋1/3〕＋〔n＋α＋2/3〕の式がわからないです。 nとαがわからない。（どこから現れたか） 〔n＋α〕のαが１より小はなぜわかるの？ 〔n＋α＋1/3〕のα＋1/3が１より小はなぜわかるのか？ 〔n＋α＋2/3〕のα＋2/3がなぜ１より小はなぜわかるのか？ 〔n＋α〕＋〔n＋α＋1/3〕＋〔n＋α＋2/3〕を計算すると なぜ3ｎなのか？ 右辺＝〔3x〕=〔3n＋3α〕になるのか？ ３αはなぜ1より小く、どこから現れてきたのでしょうか？
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まず一般論を書きます。 実数Ｘの整数部分をn、小数部分をαとします。つまり Ｘ＝n＋α …(1) ですね。 このときの[Ｘ＋β]（βは少数）がどうなるかを考えてみましょう。(1)より [Ｘ＋β]＝[n＋(α＋β)] ですから小数部分の和(α＋β)が１を超えるかどうかで[Ｘ＋β]の値が変わってきます。整理すると ０≦α+β＜１ のとき [Ｘ＋β]＝n １≦α+β のとき [Ｘ＋β]＝n＋1 さて本問では上の式でβ＝1/3，2/3 のときを考えるわけです。するとαの場合分けの仕方が見えてきませんか？ あと[n＋α]のαが何故１より小さいのか、ということですが。場合分けをして ０≦α＜１/3 としているわけですからαは1より小さくα＋2/3も１より小さいですよね。
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ヒントのみ。 αについて、「小数部分をαとおく」 と書いてありますから、何の少数部分をαとおいたかということです。 x の整数部分を n x の少数部分を α と置いてあるようであります。
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