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最大値と最小値について
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- oshiete_goo
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11x-97y=1 1次の不定方程式の解法をお調べになると良いでしょう． （ユークリッドの互除法を使えばいいんでしたね） さて，一般解 x＝-44＋97t y=-5＋11t を認めていいのなら |x-y|＝|(-44＋97t)－(-5＋11t)|＝|86t-39|(≧0) これが最小になるのは 関数 y＝|86t-39|が t≦39/86 の時は単調減少，t≧39/86の時は単調増加であるから，ｔが整数の時ならば,t=0,1 の時を比較して， 最小値はt=0の時に |x-y|＝|-39|＝39・・・(答) なお，愚直に解けば，例えば次のようになります． まず特解(解の１つ)を偶然に頼らない方法で求めます． 11x-97y=1 11(x-8y)-9y=1 11a-9y=1・・・(＠＠) [a=x-8y] 2a+9(a-y)=1 2a+9b=1 [b=a-y] 2(a+4b)+b=1 2c+b=1 [c=a+4b] ここまでくれば c=0,b=1 という１組が求まります．[この形までくれば，係数が１でない方を0にとれば，必ず整数解が作れます．] 逆に代入して行って a=-4,y=-5,x=-44 よって，特解 xo=-44,yo=-5 が見つかりました． 勿論，(＠＠)くらいのところでも差が１になる組が見つかればＯＫで， 45-44=1 より，a=-4,y=-5 として打ち切ってよいです． さて，11x-97y=0 の一般解は，11と97は互いに素より， x＝97t, y＝11t (tは整数) と書けるので，結局元の方程式（＠）の一般解は x＝97t+x0＝97t-44, y＝11t+y0＝11t-5 です．
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