たぶん統計？ 重さを測って個数を割り出す検査

質問

重さのばらつきが小さいと思われる品が約１０００個ある。
１０００個あるか知りたいが１０００個も数えるのは大変である。
何がしたいかというと、この品々が１０００個あることを検査したい、重さを測定する方法で。
１０００個の中からサンプルとして２０個ランダムに抜き出し、２０個の重さを測定し、
１個当たりの平均の重さを計算する（ｘｇ）
次に品１０００個全部の重さを測定する。（ｙｇ）
ｙ÷ｘ=１０００個　なら、何の問題もないのだが、たとえわずかでもバラツキというものが存在するため・・・
許容誤差範囲は２％。
だから
１０００±２０個
９８０個＜ｙ÷ｘ＜１０２０個　なら、ちょうど１０００個あると期待でき、検査としては合格である。

さて、ここからが問題である。
２１０ｇが４００個、２３０ｇが６００個　混在する　１０００個の品がある。
これを　上記の方法で検査しようと思ったのだが
自分の感覚としてはなんとなく　この場合は　バラツキが小さくないような気がする。重さを測ることで品物の数を知ろうとする上記の方法は、品々の重量のばらつきは小さいということが前提である。そうでなければ計算で割り出せない。
うーんどう考えればいいんだろう？　極端な話だけど
ランダムに抜き出したサンプルが２０個全部２１０ｇの品になる可能性もある。
（この場合　ｘ=２１０ｇ）
また、ランダムに抜き出したサンプルが２０個全部２３０ｇの品になる可能性もある。（この場合は　ｘ=２３０ｇ）

２１０g×４００個+２３０ｇ×６００個=２２２０００ｇ　（ｙ=２２２０００ｇ）

計算すると、
２２２０００÷２３０＞ｙ÷ｘ＞２２２０００÷２１０
９６５個＞ｙ÷ｘ＞１０５８個
これは９８０個＞ｙ÷ｘ＞１０２０個　の許容誤差率２パーセントの範囲に収まっていない。
だから　このケースの場合、品々の重量のばらつきが決して小さくないため、
重量から計算したって　数が１０００個あるか知ることはできない

ん？ともかく
こんな風に考えてしまったのだけど、たぶんまずいんだろうなあ。

「２１０ｇ×４００個+２３０ｇ×６００個」の品１０００個は
許容誤差率２％に収まらない、ばらつきが小さくない　品々であることを説明するにはどうやるのか？

あるいは？
もしかして許容誤差率２％に収まる品々だったりするのか？
数学から離れて　ん十年だけど教わりたく、ご指導ください。

回答No.3

kon555 · ベストアンサー

色々と考え合わせると、今回の事例では私が当初想定していた手法は適応しない方がよさそうですね。やるなら20個のサンプルの個々の重量を測定して、210 or 230のどちらであるかを確定させて計算させるのが一番いいかな。

>>ばらつきが小さくない品々であることを説明するにはどうやるのか？
最終的には求められる検査精度の話になります。
貴方が計算したように、20個のサンプル全てが210　または　230だった場合、本来OKなものがNGになります。逆に、本来NGなものがOKにもなります。
つまり、仮に「重量誤差0」という理想的な前提の上でも、一定の確率で検査自体が失敗するわけです。
これがどれくらいの確率か、といえば単純な確率計算で算出できます。
当然ながら計算が成り立つようなサンプル組み合わせもあるわけで、それらを整理すると「重量誤差0の場合でも検査が失敗する確率」というものが算出できます。

しかしわざわざサンプル抜きとりして平均値、という手間をかけている以上、この製品の重量誤差はそれなりにある前提ですよね？
その辺りもかね合わせると、ちょっと検査工程としてはしんどい数字になると思います。
説明するには、というなら、その辺りの確率分布と重量誤差見込みを資料としてまとめてみれば、それなりに説得力が出るかと。

最初はこの辺りをサンプリング回数を増やして信頼度を上げようかとも思っていたのですが、それならサンプルの個別重量を測定して分別するべきだなと思い直しました。

回答No.2

kon555

ああ、勘違いしていました。許容誤差範囲は２％、というのは個数の誤差範囲ですね。

その場合決定しなければならないのは、「２１０ｇが４００個、２３０ｇが６００個」という個別の個数にも許容誤差範囲２％を適応するかどうかです。
つまりトータルが1000±２０個に収まっていればよいのか、それとも４００±8個と６００±12個が成立していなければならないのか。

その辺りが決定されれば、後は統計的手法で個数を決める事ができるかと。サンプリング数が20で済むかどうかはわかりませんが、全数検査は回避できるんじゃないかな？　と思いますけど。

補足

２１０ｇのと２３０ｇのは混在していて、見ただけではどれがどれだかわからない状態です。依頼者が申告してきた内容を４００個、６００個この比率、この数で間違いないね？ともまで疑ってかかることはとりあえずやりません。深追いしません（難しくなるので無視してください。）限られた時間内に、マニュアル通りこなすって感じです。

回答No.1

kon555

誤解の無いように確認したいのですが、「２１０ｇが４００個、２３０ｇが６００個」という条件は、この『２１０ｇ』『２３０ｇ』も当然ノミナル値というか代表値で、さらにそこにバラつきが乗るんですか？

つまり許容誤差としては『２１０ｇ』から誤差率２％、『２３０ｇ』から誤差率２％という形ですか？
この場合、根本的に狙い値が違う製品が混在しているので、母集団の誤差率を抜き取りで出そうとするのは困難では？
いや、サンプリングの数などで数学的には成立させられると思いますが、信頼できるかと言われるとちょっと難しいですよ。

逆に『２１０』と『２３０』の平均である220がノミナルなら、許容される限度は4.4なので最初から入ってませんね。

お礼

回答ありがとうございます。補足のおしまいのところが間違ってました。
２１７．６ｇ>品>２２６．４ｇでした。

もしも、抜き出２０個のサンプルが全部２１ｇのだったとしたら、
検査は不合格になりますね。
もしも、抜き出すサンプルが全部２３ｇのっだったら　これもやっぱり不合格になりますね。ありうることなんだけど　「ランダムに抜き出す」と言ってるのに、このような偏った抜き取られ方を可能性があるというだけで想定していいのか？

ばらつきが２％の
２１７．６ｇ＞品＞２２６．４ｇの範囲内の１０００個だった場合
もしも抜き出される２０個のサンプルが全部２１７．６ｇのだった場合
検査はぎりぎり合格になりますね。
全部２２６．４ｇのだった場合も
検査はぎりぎり合格になりますね。
つまり、そういう考え方でよろしいのでしょうか？

補足

ありがとうございます。2つの立場があり、それは依頼側と検査側です。依頼側が持ち込み申告した内容が「２１０ｇが400個、２３０ｇが600個、両者は混在していて、合わせて1000個」というものでした。
検査側は、申告どおり、1000個あるか知りたいのです。が、現実、1000個も1つ1つ数えるのは大変です。さっとできる検査方法があって、それは先述とおりなのですが、サンプルをランダムに20個抜き取り、重さを測り、20で割って、平均の重量を出す。（ｘｇとする）
1000個だと言われている品全部の重さを測る。（ｙｇとする）
ｙ÷ｘの値が許容誤差率２％以内すなわち
９８０個＞ｙ÷ｘ＞１０２０個になったなら、
検査としては合格ということで、検査側は、依頼側が申告した１０００個というのは信用できる、数を確認できたということになる。
ただし、この方法を使えるには条件があって、「品々の１個１個の重さのばらつきが小さくなくてはならない」
（そりゃそうだ、ばらつきが小さくなければ、この検査方法は使えないというのは私でもわかる。
もしも、ばらつきが大きい品々ならば、楽に検査できるこの方法を使うのはあきらめて、時間がかかるけど１０００個あるというこの品々を手で数えて
確認するしか、しかたがない。）
問題の「２１０ｇ４００個２３０ｇ６００個」が、この楽な方法を使うことのできる条件のものかどうかということが知りたいのです。

（２１０×４００＋２３０×６００）÷１０００＝２２２ｇ
これの場合、２１０ｇ≧品≧２３０ｇですよね。

検査方法の中に「２％」なんて数字があるから、ここんとこも、２％すなわち
２０６ｇ＞品＞２３４ｇ
に収まっていなければなければならない、ということなのかしら？
どれくらいのばらつきの品々なら許されるのか
わたしはここんところが説明できるようになりたいのです。