中線のなす角の２等分線の延長

質問

平行が証明できないので質問します。
問題1　三角形ABCの中線をAM、また∠AMB、∠AMCの各2等分線のがそれぞれAB、ACと出会う点をD、EとすればDE//BCである。これを証明せよ。
この問題の続きで、問題2　EM、DMの延長がそれぞれAB、ACの延長と出会う点をF、Gとすれば、FG//BCであるこれを証明せよ。がわかりません。
問題2の解説は問題1と同様に証明する。と書いてあります。問題1はAD:DB=AM:BM。AE:EC=AM:CM。よりAD:DB=AE:ECよってDE//BCという証明なので。問題2はAB:BF=AC:CGを証明すると考えましたが、証明できませんでした。
どなたか問題2のFG//BCを証明してくださいお願いします。

回答No.2

deshabari-haijo · ベストアンサー

DE//BCであるから、DE/BC=DE/2BM=k（0＜k＜1）とおくと、
△DFE∽△BFMであるから、
BM/DE=BF/DF=BF/(DB+BF)=1/2k
これから、
DB+BF=2kBF
(2k-1)BF=DB
DB/BF=2k-1
ただし、2k-1＞0であるから、k＞1/2であり、0＜k＜1と合わせると、1/2＜k＜1
因みに、三角形ABCが、AB=AC、∠A=90°の直角二等辺三角形である場合には、k=1/2であり、DB//EM、DM//ECとなるので、図にあるような点FとGは存在しなくなります。
同様に、EC/CG=2k-1
よって、DB/BF= EC/CG（DB：BF=EC：CG）であるから、FG//BC

お礼

返事がおくれてすいません。
比の値をkとおき、BF/DF=BF/(DB+BF)と分解して考える。思いつかない証明でしたありがとうございます。

回答No.1

178-tall

↓ 参照 URL
　公式1：角の二等分線と辺の比の公式
…　など。

参考URL：

https://mathtrain.jp/nitobun

お礼

参考URLありがとうございます。